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大学高等数学教学课件

课程介绍与学习目标本课程作为理工科专业的基础核心课程，旨在帮助学生系统掌握高等数学的基本理论、计算方法与应用技能。通过本课程的学习，学生将能够：掌握函数极限与连续性基础理解极限的严格定义，掌握函数极限的计算方法，能够分析函数的连续性，并应用于实际问题中。理解导数与微分的概念掌握导数的定义及其几何意义，熟练运用微分法则解决各类问题，培养建立数学模型的能力。掌握积分及其应用掌握不定积分与定积分的计算技巧，能够应用积分求解几何量与物理量，理解积分思想的普遍应用价值。具备解决常微分方程的能力了解常微分方程的基本类型，掌握求解一阶及常系数线性微分方程的方法，能够应用于简单的物理模型。

函数与极限概述函数的定义与表示方法函数是描述两个变量之间依赖关系的数学概念。在集合论的框架下，函数f是从定义域X到值域Y的一种映射，记为f:X→Y。每个x∈X都有唯一的y=f(x)∈Y与之对应。函数可以通过以下方式表示：解析法：通过数学表达式直接给出y=f(x)的计算规则列表法：通过表格形式列出自变量与因变量的对应关系图像法：在坐标系中绘制函数图像，直观展示函数关系极限的概念与性质极限是高等数学的基础概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。当自变量x无限接近于某个值a时，如果函数值f(x)无限接近于某个确定的值L，则称L为函数f(x)当x→a时的极限，记为：极限存在的判定标准函数极限存在的必要条件是左极限等于右极限。严格定义如下：对于任意给定的ε0，存在δ0，使得当0|x-a|δ时，恒有|f(x)-L|ε。极限的基本性质包括：唯一性：若极限存在，则极限值唯一局部有界性：若极限存在，则函数在该点附近有界局部保号性：若极限L0(或L0)，则在该点附近函数值也为正(或负)

极限的计算方法四则运算法则若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限等于各自极限的和、差、积、商。即：这些基本法则是计算复杂极限的基础。例如：无穷小与无穷大比较当x→a时，如果函数f(x)→0，则称f(x)为x→a时的无穷小量。比较两个无穷小量的衰减速度，有：高阶无穷小：若\lim\frac{\alpha}{\beta}=0，记作\alpha=o(\beta)同阶无穷小：若\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\neq0等价无穷小：若\lim\frac{\alpha}{\beta}=1，记作\alpha\sim\beta常见的等价无穷小替换（当x→0时）：夹逼定理应用举例夹逼定理是解决复杂极限问题的有力工具：若在点a的某邻域内（除可能a点外）恒有g(x)\leqf(x)\leqh(x)，且\lim_{x\toa}g(x)=\lim_{x\toa}h(x)=A，则\lim_{x\toa}f(x)=A。经典例题：求\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n

函数的连续性连续函数定义函数f(x)在点x=a处连续，是指：这一定义包含三个条件：函数f(x)在点a处有定义，即f(a)存在极限\lim_{x\toa}f(x)存在极限值等于函数值，即\lim_{x\toa}f(x)=f(a)函数在区间上连续，是指函数在区间内每一点都连续。连续函数具有许多重要性质，包括有界性、最大值和最小值定理、介值定理等。间断点的分类若函数f(x)在点a处不连续，则称点a为f(x)的间断点。根据间断的性质，可分为：第一类间断点左右极限都存在，但可能不相等，或与函数值不相等。包括：可去间断点：左右极限相等但不等于函数值，或函数在该点无定义跳跃间断点：左右极限存在但不相等第二类间断点至少有一侧极限不存在。包括：无穷间断点：至少有一侧极限为无穷大振荡间断点：函数在该点附近无限振荡连续性的几何意义

一元函数的导数概念导数是微积分中最核心的概念之一，它描述了函数变化的瞬时速率。通过导数，我们可以研究函数的变化规律，解决实际问题中的最优化问题，以及建立各种物理模型。在工程应用中，导数可以表示物体的瞬时速度、加速度，电路中的电流变化率等物理量，是解决动态系统问题的基本工具。导数定义与物理意义函数y=f(x)在点x=x?处的导数定义为：物理意义：表示函数在该点的瞬时变化率在运动学中，表示物体的瞬时速度在经济学中，表示边际成本或边际收益导数的几何解释（切线斜率）函数f(x)在点(x?,f(x?))处的导数值等于曲线y=f(x)在该点处的切线斜率。切线方程为：导数的基本运算法则常见的导数公式：基本运算法则：

导数的计算技巧乘积、商及链式法则乘积法则：如果u=u(x)和v=v(x)都可导，则它们的乘积的导数为：商法则：如果u=u(x)和v=v(x)都可导且v≠0，则它们的商的导数为：链式法则：如果y=f(u)，u=g(x)，且f(