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高中数学炸裂题目及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是：

A.m≥-2

B.m≥0

C.m≥4

D.m≥8

2.已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a2+a3=7，求a1的值：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若直线l：y=kx+1与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，则k的值为：

A.0

B.3/4

C.-3/4

D.0或3/4

4.已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|，求f(x)的最小值：

A.2

B.1

C.0

D.3

二、填空题（每题5分，共20分）

5.已知向量a=(2,-3)，b=(1,2)，则向量a+2b的坐标为______。

6.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=±(√2/2)x，求双曲线的离心率e。

7.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)。

8.已知圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=9内接于矩形MNPQ，且|MN|=6，|MP|=4，求圆C的面积。

三、解答题（每题15分，共30分）

9.已知函数f(x)=x^3-3x，求证：f(x)在(-∞,+∞)上是增函数。

证明：

首先求导数f(x)=3x^2-3，令f(x)=0，解得x=±1。

当x-1或x1时，f(x)0，说明f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增；

当-1x1时，f(x)0，说明f(x)在(-1,1)上单调递减。

综上，f(x)在(-∞,+∞)上是增函数。

10.已知数列{an}的通项公式为an=n^2+n，求数列{an}的前n项和Sn。

解：

根据题意，Sn=1^2+1+2^2+2+...+n^2+n

=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

四、综合题（每题25分，共30分）

11.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)。求椭圆C的方程，并判断直线l：y=kx+3与椭圆C的位置关系。

解：

(1)根据题意，离心率e=c/a=√3/2，即c=√3a/2。

又因为椭圆过点(2,1)，代入椭圆方程得4/a^2+1/b^2=1。

联立以上两个方程，解得a^2=16，b^2=12，所以椭圆C的方程为x^2/16+y^2/12=1。

(2)将直线l：y=kx+3代入椭圆方程，得到(3+4k^2)x^2+12kx+12=0。

令Δ=(12k)^2-4(3+4k^2)×12=0，解得k=±√3/2。

当k=±√3/2时，直线l与椭圆C相切；

当k≠±√3/2时，直线l与椭圆C相交。

12.已知函数f(x)=x^3-3x，求证：方程f(x)=x有三个实根。

证明：

令g(x)=f(x)-x=x^3-4x，求导数g(x)=3x^2-4。

令g(x)=0，解得x=±(2√3)/3。

当x-(2√3)/3或x(2√3)/3时，g(x)0，说明g(x)在(-∞,-(2√3)/3)和((2√3)/3,+∞)上单调递增；

当-(2√3)/3x(2√3)/3时，g(x)0，说明g(x)在(-(2√3)/3,(2√3)/3)上单调递减。

又因为g(-2)=20，g(2)=-20，g(0)=0，

所以方程g(x)=0在(-∞,-(2√3)/3)、(-(2√3)/3,(2√3)/3)和((2√3)/3,+∞)上各有一个实根。

综上，方程f(x)=x有三个实根。

答案：

1.B

2.A

3.D

4.A

5.(4,1)

6.√2

7.3x^2-3

8.12π

9.略

10.n(n+1)(n+2)/3

11.(1)x^2/16+y^2/12=1；(2)相切或相交

12.略