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高中数学极值题目及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若函数f(x)在点x=a处取得极值，则f(a)的值为：

A.0

B.1

C.-1

D.不确定

答案：A

2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在该区间上一定有：

A.最小值

B.最大值

C.极值

D.无极值

答案：D

3.对于函数f(x)=x^3-3x，其在x=0处的极值类型为：

A.极大值

B.极小值

C.鞍点

D.无极值

答案：B

4.若函数f(x)在区间(a,b)上取得极值，则f(x)在该区间上：

A.恒为正

B.恒为负

C.至少有一个零点

D.至少有一个非零点

答案：C

二、填空题（每题5分，共20分）

1.函数f(x)=x^2-4x+3在x=____处取得极小值。

答案：2

2.函数f(x)=-x^3+3x^2-3x+1的极大值点为x=____。

答案：1

3.若函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处有极值，则该极值是____。

答案：极小值

4.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的导数f(x)=____。

答案：0

三、解答题（每题15分，共30分）

1.求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点及极值。

解：首先求导数f(x)=3x^2-12x+11。令f(x)=0，解得x=1或x=3/3。接下来计算二阶导数f(x)=6x-12。将x=1和x=3/3代入二阶导数，得到f(1)=-60，f(3/3)=60。因此，x=1为极大值点，x=3/3为极小值点。将x=1和x=3/3代入原函数，得到极大值为f(1)=0，极小值为f(3/3)=2。

答案：极大值点x=1，极大值f(1)=0；极小值点x=3/3，极小值f(3/3)=2。

2.已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求其在区间[0,2]上的极值。

解：首先求导数f(x)=4x^3-12x^2+12x-4。令f(x)=0，解得x=1。接下来计算二阶导数f(x)=12x^2-24x+12。将x=1代入二阶导数，得到f(1)=120。因此，x=1为极小值点。将x=1代入原函数，得到极小值为f(1)=0。由于f(0)=1，f(2)=1，所以在区间[0,2]上，函数f(x)的极小值为0，无极大值。

答案：极小值点x=1，极小值f(1)=0；无极大值。

四、综合题（每题20分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+1，求其在区间[-2,3]上的极值。

解：首先求导数f(x)=3x^2-6x-9。令f(x)=0，解得x=-1或x=3。接下来计算二阶导数f(x)=6x-6。将x=-1和x=3代入二阶导数，得到f(-1)=-120，f(3)=120。因此，x=-1为极大值点，x=3为极小值点。将x=-1和x=3代入原函数，得到极大值为f(-1)=6，极小值为f(3)=-22。同时，计算区间端点的函数值，得到f(-2)=-17，f(3)=-22。所以在区间[-2,3]上，函数f(x)的最大值为6，最小值为-22。

答案：最大值f(-1)=6，最小值f(3)=-22。