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人教版初中八年级下册数学同步讲义专题勾股定理（教师版+学生版）

第06课勾股定理

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课程标准

1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

知识精讲

知识精讲

知识点01勾股定理

直角三角形两直角边的等于斜边的.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

注意：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

，，.

知识点02勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

下图中：

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

知识点03勾股定理的作用

（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

（2）用于解决带有平方关系的证明问题；

（3）利用勾股定理，作出长为的线段.

能力拓展

能力拓展

考法01勾股定理的理解

【典例1】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）

A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对

【即学即练】如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米

A． B． C．+1 D．3

考法02勾股定理证明的理解

【典例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为

A．9 B．6 C．4 D．3

【即学即练】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（）

A．13 B．19 C．25 D．169

【即学即练】如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．

考法03数轴上画无理数

【典例3】如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为（）

A． B． C． D．

【即学即练】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）

A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1

考法04勾股定理的简单应用

【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．

【即学即练】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

【即学即练】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

【即学即练】（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.

【即学即练】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）

A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

【即学即练】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是()

A．24c