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数学分析（二）

第一讲：反常积分

刘思齐

清华大学数学系

2020年2月14日

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反常积分的定义

反常积分（improperintegral）也称广义积分，是通常的黎曼积分的一种推广和补充，用来处理无界

区间和无界函数的定积分。

定义(反常积分)

设I=[a,ω)⊆R，函数f:I→R满足对任意的b∈I，f∈R[a,b]。若函数极限

limbf(x)dx

b→ω−

a

存在，则称其为f在I上的反常（黎曼）积分，并记为

ωf(x)dx:=limbf(x)dx.

b→ω−

aa

注：

这样的f也称在I上内闭黎曼可积或局部黎曼可积，我们以下简称其为局部可积。

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反常积分的例子

例：(无界区间情况，也叫无穷积分)

区间I=[0,+∞)，函数f(x)=12，则

1+x

+∞dx2=limbdx2=limarctanb=π

01+xb→+∞01+xb→+∞2

例：(无界函数情况，也叫瑕积分)

区间I=[0,1)，函数f(x)=log1，则

1−x

1log1dx=limblog1dx=lim(b+(1−b)log(1−b))=1

01−xb→1−01−xb→1−

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其它变种

除了前面的“坏点在右”情形以外，反常积分还有其它变种：

坏点在左：

bf(x)dx:=limbf(x)dx.

a→η+

ηa

左右都坏：