第13讲 巧求周长.docVIP

我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？可以把求多边形的周长转化为求长方形和正方形的周长。

例1如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米？

分析要求这个多边形的周长，也就是求线段AB＋BC＋CD＋DE＋EF+FA的和是多少，而在这六条线段中，只有AB和BC这两条线段的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图13—2所示，这个大正方形是ABCG.把线段EF水平向上移动，移到CG边上，这样CD＋EF的长度正好与AB的长度相等.同样把竖直方向上的DE边向左移动，移到AG边上，这样AF＋DE的长度正好与BC边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道，但这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长就转化为求一个正方形的周长，这个多边形的周长就可以巧妙地求出来了。

解：6×4=24（厘米）

答：这个多边形的周长是24厘米。

说明：本例图中的E点在竖直方向上不论移动到什么位置（当然F点也随着上下移动），这个多边形的周长都不变，当然D点在水平方向上移动（E点也随着移动），所得到的多边形周长也不变.这里点的移动不能超出大正方形ABCG这个范围。

例2把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？

分析先观察图13—3，第一层有一个长方形，第二层有两个长方形，第三层有三个长方形……找到规律，第十五层有十五个长方形.同样，用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为2×15=30（厘米）、宽为1×15＝15（厘米）的长方形周长。

解：（2×15＋1×15）×2

=45×2＝90（厘米）

答：这个图形的周长为90厘米。

例3把长2厘米、宽1厘米的长方形摆成如图13—4的形状，求该图形的周长。

分析用一个大长方形把这个图形圈起来，如图13—5所示，这个大长方形的长为：2×10=20（厘米）、宽为：1×13＝13（厘米），这个复杂的多边形的周长问题就转化为

求一个长方形的周长问题。

解：（2×10+1×13）×2

＝33×2＝66（厘米）

答：这个多边形的周长为66厘米。

例4图13—6共有8条边，分别用a、b、c、d、e、f、g、h表示，要测量它的周长，至少要测量哪几条线段的长度？

分析如果把这8条边的长度都测量出来，当然这个图形的周长也就知道了，但题目要求测量的边数要尽可能地少，所以仍然用一个长方形把这个图形圈起来.如图13—7所示。

这个大长方形的长为b，宽为c.这里与前面例题所不同的是，这个多边形的周长并不等于这个大长方形的周长，因为在竖直方向上a、g、e这三条线段有所重叠.在水平方向上，h＋f+d＝b.为了使测量的线段尽可能地少，因此在水平方向上只要测量线段b的长度，就可以求出水平方向上所有线段的长度和。

在竖直方向上，从线段a上截取一段g，则另一段a-g加上线段e就等于线段c的长度。

则a＋g＋e＋c＝（g＋a-g）＋g＋e＋c

＝（a-g＋e）+2g＋c＝2c＋2g

或在线段c上截取一段，使其等于a-g，然后移至线段g的下面，这样便有a+g＋e+c＝2（a＋e）.因此，在竖直方向上，只要测量线段c与g的长度或测量a与e的长度就可以求出竖直方向上所有线段的长度和。

解：在水平方向上测量线段b的长度，在竖直方向上测量c、g或a与e的长度，这个多边形的周长就可以求出来了。

答：只要测量b、c、g或b、a、e三条线段的长度，这个多边形的周长就可以求出来了。

例5求图13—8的周长.单位为厘米。

分析为了叙述方便，在图中标上字母A、B、C、D、E、F、G、H、J、K、M、N.如图13—9所示.

在水平方向上：AB＋CD＋EF＋GH＋MN=KJ，因此水平方向上所有线段的长度和为：20×2=40（厘米）。

在竖直方向上：

AK＋BC＋ED+FG＋MH＋NJ

=（AL+LK）+BC+ED＋FG+MH+NJ

=（AL＋BC）+（LK+MH）+（ED+FG）＋NJ

＝2BC＋NJ＋2ED＋NJ

=2（BC＋ED＋NJ）

而BC、ED、NJ的长度都是已知的，因此在竖直方向上所有线段的长度和就可以求出。

解：在水平方向上，所有线段的长度和为：

20×2=40（厘米）

在竖直方向上，所有线段的长度和为：

（3+8+9）×2＝40（厘米）

因此，这个多边形的周长为：40+40=80（厘米）

答：这个多边形的周长为80厘米.