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第十一讲格点与面积

请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.

显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.

例1如下图，计算下列各个格点多边形的面积.

分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.

解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.

第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.

第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.

第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.

第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.

第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.

例2如下图（a），计算这个格点多边形的面积.

分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.

解：矩形面积是6×4=24.

直角三角形Ｉ的面积是：

6×2÷2＝6.

直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，

直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.

所求三角形的面积是：

24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.

例3如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.

解：用切割方法（如下图所示）.

图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.

图（B）面积为：

3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.

说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.

例4如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.

解：列表如下：

我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.

这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.

例5如下图，将图中有关数据填入下表：

以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：

S=N+L/2-1

这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.

上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.

例6本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.

解：图形内部格点数N=21.

图形周界上的格点数L=9.

图形面积S=N+L/2-1

=21+4.5-1

=24.5（面积单位）.

以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研