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高三数学奥数题目及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处有极值，则a的值为：

A.0

B.-3

C.3

D.1

2.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a4=8，求a7的值：

A.14

B.16

C.18

D.20

3.圆x^2+y^2=1与直线x+y=a相切，求a的值：

A.√2

B.√3

C.1

D.2

4.已知函数f(x)=x^2-4x+m，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则m的取值范围是：

A.m≥-4

B.m≥0

C.m0

D.m0

二、填空题（每题5分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的表达式：_________________。

2.若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1，求a3的值：_________________。

3.已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，若双曲线C的一条渐近线方程为y=√3x，则b/a的值为：_________________。

4.已知抛物线y=x^2-4x+3与x轴交于点A和点B，求|AB|的值：_________________。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点。

证明：

首先求导数f(x)：

f(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

令f(x)=0，解得x=0或x=2。

当x∈(1,2)时，f(x)0，说明f(x)在区间(1,2)内单调递减。

又因为f(1)=0，f(2)=-2，所以f(1)f(2)0。

根据零点存在性定理，f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点。

2.已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（ab0），离心率为√3/2，且椭圆C经过点(1,√3)。

求椭圆C的方程。

解：

已知离心率e=√3/2，根据离心率的定义，有：

e=c/a=√(1-b^2/a^2)=√3/2

又因为椭圆C经过点(1,√3)，代入椭圆方程得：

1/a^2+3/b^2=1

联立以上两个方程，解得a^2=4，b^2=1。

所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1。

四、综合题（每题15分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间和极值。

解：

首先求导数f(x)：

f(x)=3x^2-6x+2

令f(x)=0，解得x1=1/3，x2=2。

当x∈(-∞,1/3)∪(2,+∞)时，f(x)0，说明f(x)在这两个区间内单调递增。

当x∈(1/3,2)时，f(x)0，说明f(x)在这个区间内单调递减。

所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1/3)和(2,+∞)，单调递减区间为(1/3,2)。

接下来求极值。令f(x)=0，解得x1=1/3，x2=2。

计算f(1/3)=4/27，f(2)=0。

所以f(x)的极大值为4/27，极小值为0。

2.已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（ab0），离心率为√3/2，且椭圆C经过点(1,√3)。

求椭圆C的焦点坐标。

解：

已知离心率e=√3/2，根据离心率的定义，有：

e=c/a=√(1-b^2/a^2)=√3/2

又因为椭圆C经过点(1,√3)，代入椭圆方程得：

1/a^2+3/b^2=1

联立以上两个方程，解得a^2=4，b^2=1。

所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1。

根据椭圆的性质，焦点坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c=√(a^2-b^2)=√3。

所以椭圆C的焦点坐标为(√3,0)和(-√3,0)。