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概率问题测试题目及答案

一、选择题（每题3分，共15分）

1.如果一个随机变量X服从标准正态分布，那么P(X1)的值是多少？

A.0.8413

B.0.1587

C.0.8413

D.0.1587

答案：B

2.在一个装有5个红球和3个蓝球的袋子里，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？

A.0.5

B.0.6

C.0.8

D.0.2

答案：B

3.假设一个骰子是公平的，掷骰子得到偶数的概率是多少？

A.1/2

B.1/3

C.2/3

D.1/6

答案：A

4.如果事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)的值是多少？

A.0.7

B.0.5

C.0.3

D.0.4

答案：A

5.假设一个随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.5，那么X的期望值E(X)是多少？

A.5

B.10

C.0.5

D.1

答案：A

二、填空题（每题4分，共20分）

6.如果一个随机变量X服从泊松分布，其参数λ=3，那么P(X=2)的值是________。

答案：0.6459

7.在一个装有10个球的袋子里，其中有3个红球，7个蓝球，不放回地抽取两个球，第一次抽到红球，第二次抽到蓝球的概率是________。

答案：0.21

8.假设一个随机变量X服从均匀分布U(a,b)，那么X的方差Var(X)是________。

答案：(b-a)2/12

9.如果一个随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，那么X的期望值E(X)是________。

答案：μ

10.在一个装有10个球的袋子里，其中有4个红球，6个蓝球，随机抽取两个球，至少抽到一个红球的概率是________。

答案：0.8

三、计算题（每题10分，共30分）

11.假设一个随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(0X4)。

答案：P(0X4)=Φ((4-2)/2)-Φ((0-2)/2)=Φ(1)-Φ(-1)=0.8413-0.1587=0.6826

12.一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，求至少抽到一个红球的概率。

答案：P(至少一个红球)=1-P(没有红球)=1-C(5,3)/C(10,3)=1-10/120=1-1/12=11/12

13.假设一个随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=20，p=0.4，求E(X)和Var(X)。

答案：E(X)=np=200.4=8

Var(X)=np(1-p)=200.40.6=4.8

四、简答题（每题5分，共10分）

14.什么是条件概率？请给出条件概率的定义。

答案：条件概率是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A)。定义为：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(A)≠0。

15.什么是大数定律？请简述大数定律的内容。

答案：大数定律是指当试验次数足够多时，事件发生的频率趋近于其概率。具体来说，对于一个随机变量序列X1,X2,...,Xn，如果它们相互独立且同分布，那么当n趋向于无穷大时，样本均值的极限等于随机变量的期望值，即lim(n→∞)(1/n)ΣXi=E(X)。