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复数的高难度题目及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）的模为1，则\(|z|=\)（）

A.\(a^2+b^2\)

B.\(\sqrt{a^2+b^2}\)

C.\(\sqrt{a^4+b^4}\)

D.\(\sqrt{a^2+b^2+1}\)

答案：B

2.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(z\cdot\overline{z}=1\)，则\(z\)的模为（）

A.0

B.1

C.-1

D.2

答案：B

3.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(|z|=2\)，则\(|z^2|=\)（）

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：B

4.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(\arg(z)=\frac{\pi}{4}\)，则\(\tan(\arg(z))=\)（）

A.0

B.1

C.-1

D.\(\sqrt{2}\)

答案：B

二、填空题（每题5分，共30分）

1.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(|z|=3\)，则\(a^2+b^2=\)________。

答案：9

2.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(\arg(z)=\frac{\pi}{6}\)，则\(\tan(\arg(z))=\)________。

答案：\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

3.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(z\cdot\overline{z}=4\)，则\(|z|=\)________。

答案：2

4.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(z^2=-4\)，则\(z=\)________。

答案：\(\pm2i\)

5.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(z+\overline{z}=4\)，则\(a=\)________。

答案：2

6.若复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）满足\(z^3=1\)，则\(z\)的可能值为________。

答案：1，\(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)，\(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)

三、计算题（每题10分，共40分）

1.计算复数\(z=1+2i\)的模和辐角。

答案：

\[|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\]

\[\arg(z)=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)=\arctan(2)\]

2.计算复数\(z=3-4i\)的共轭复数。

答案：

\[\overline{z}=3+4i\]

3.计算复数\(z=2+3i\)和\(w=1-i\)的乘积。

答案：

\[z\cdotw=(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i\]

4.计算复数\(z=1+i\)的幂\(z^4\)。

答案：

\[z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\]

\[z^4=(z^2)^2=(2i)^2=4i^2=4(-1)=-4\]

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明对于任意复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)），有\(|z|^2=z\cdot\overline{z}\)。

证明：

\[|z|^2=(a+bi)