2025年3月中考数学一轮复习精品讲义(含2025中考真题)-第二十二章-一元二次方程.docVIP

第二十二章一元二次方程

本章小结

小结1本章概述

本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.

小结2本章学习重难点

【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.

【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.

小结3学法指导

1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.

2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.

3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.

4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.

5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.

知识网络结构图

定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程

定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程

直接开平方法

直接开平方法

因式分解法

配方法

公式法

解法（降次）一元二次

解法（降次）

一元二次

方程

应用一元二次方程解决实际问题

应用一元二次方程解决实际问题

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1一元二次方程的定义

【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.

例1已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.

分析依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.

解：依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，

解得m＝±1，

又∵m－1≠0，∴m≠1，

故m＝－1.

【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.

专题2一元二次方程的解法

【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.

例2用配方法解一元二次方程2x2+1＝3x.

分析本题考查配方法解方程的步骤.

解：移项，得2x2－3x＝－1，

二次项系数化为1，得

配方，得

由此可得

【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.

例3一元二次方程3x2－x＝0的解是（）

A.x＝0B.x1＝0，x2＝3C.D.

分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x(3x－1)＝0，易求出x＝0或3x－1＝0，问题得解.故选C.

【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.

例4解方程x2－2x－2＝0.

分析结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解.

解法1：∵a＝1，b＝－2，c＝－2，

∴b2－4ac＝（－2）2－4×1×

∴x＝

解法2：移项，得x2－2x＝2，

配方得x2－2x+1＝3，

即（x－1）2＝3，∴x－1＝，∴

【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.

专题3与方程的根有关的问题

【专题解读】这