高教社杯全国生数学建模竞赛题评阅要点题.pdfVIP

2008高教社杯大学生数学建模竞赛A题评阅要点

（1）靶标上圆的像是椭圆，但圆心的像一般不是椭圆的形心。对给

定的坐标系，由相片可获取靶标圆的像的边界坐标数据，根据

这些边界点的原像落在靶标平面且落在对应圆周上的性质，利

用光学成像原理可建立确定靶标平面方程和靶标圆的圆心坐标

的非线性方程组数学模型，进而求得靶标圆心像的坐标。模型

求解可直接求解非线性方程组，也可化为优化问题求解。由于

在某些情形模型可能有多解，化为优化问题后，目标函数有可

能为多峰，在求解时应加以注意。

（2）要以模型的合理性和优劣作为主要评价标准，不要以数值结果

好坏作为评价的唯一标准。

（3）模型检验是数学建模的一个重要环节。但以往重视不够。对

本问题，应对于靶标平面具有已知特殊倾角的情形，分别对有

无误差的情形逆向设计数据，即在靶标平面方程和圆方程已知

的情况下，根据光学成像原理，计算获得圆周像的各点坐标和

圆心像的坐标。利用圆周像的各点坐标数据（并加上随机误差）

用建立的模型和方法，计算出圆心的像坐标，并与通过光学成

像原理计算所得的圆心像坐标进行比较，检验模型与方法的有

效性与稳定性。精度是一个复杂的问题，鼓励学生发挥自己的

想象力加以研究。

（4）对两部相机各自取固定在其上的坐标系，决定它们相对位置即

确定这两个坐标系之间的变换关系。此变换可分解为一个平移

和一个绕原点的旋转。于是要确定一个三维平移向量t和一个

旋转变换矩阵R，R是一个正交阵，因此需要确定6个未知的

参数。从靶标上若干个圆的圆心的像坐标可以得到它们分别在

在两个相机坐标系中的坐标。根据这些点的坐标变换关系，可

得一个方程组，足以确定6个未知参数，从而确定变换关系。

[注]关于最早公布的题中存在的个别错误之处地说明：按照题中所

给图像，同学应该能够判断出相机分辨率是1024*768，而不是

1024*786；如果同学按最早公布的题中所说的像距就是焦点（正确的

说法应该是光心）到像平面的距离建模和计算，可能会影响到数值结

果，但这些问题本质上对模型和算法及其检验、分析的影响不大。