专题强化练8-利用空间向量解决存在性与探究性问题--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习.pdfVIP

2026年

2026北师大版高中数学选择性必修第一册

专题强化练8利用空间向量解决存在性与探究性问题

1.(2025江西抚州南城第二中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD

中,AB∥CD,AB=4,CD=2,BC=2,PC=PD=3,平面PCD⊥平面ABCD,PD⊥BC.

(1)证明:BC⊥平面PCD;

(2)若Q是线段PC的中点,M是直线AQ上的一点,N是直线PD上的一点,是否存在点

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M,N,使得MN=9?请说明理由.

2.(2025湖南部分州市月考)如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,AA⊥平面ABCD,底面

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ABCD为梯形,AD∥BC,BC=4,AB=AD=DC=AA=2,Q为AD的中点.

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(1)在AD上是否存在点P,使直线CQ∥平面ACP?若存在,请确定点P的位置并给出证

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明;若不存在,请说明理由;

(2)若(1)中的点P存在,求平面ACP与平面ABBA夹角的余弦值.

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3.(2025江西三新协同教研共同体联考)如图1,等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的

中点,沿BC边上的高AD折叠,使得二面角B-AD-C为60°,如图2,M为CD的中点.

(1)证明:BM⊥AC;

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(2)求二面角M-AB-D的余弦值;

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(3)在线段AC上是否存在点Q,使得直线MQ与平面ABM夹角的正弦值为?若存在,求

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出线段AQ的长度;若不存在,请说明理由.

4.(2025江西景德镇乐平第三中学期中)在空间直角坐标系中,若平面α过点P(x,y,z),且

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平面α的一个法向量为n=(a,b,c),则平面α的方程为a(x-x)+b(y-y)+c(z-z)=0,该方程称为

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平面α的点法式方程,整理后为ax+by+cz+t=0(其中t=-ax-by-cz),该方程称为平面α的

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一般式方程.如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,BC,BD,BC两

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π

两垂直,AD=1,BD=3,直线CC