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第二章原子的结构和性质
计算氢原子的基态波函数在处的比值。[解]：氢原子基态波函数为：该函数在两处的比较值为：而01[2.5]02
本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且，如果我们注意到在r的全部区间内随着r的增大而单调下降这个事实，计算结果的合理性也是显而易见的。已知氢原子的试问下列问题：（a）??原子轨道能E=？（b）??轨道角动量|M|=？轨道磁距|μ|=？（c）??轨道角动量M和Z轴的夹角是多少度？（d）?列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出具体的数值）。（e）??节面的个数、位置和形状怎样？（f）??几率密度极大值的位置在何处？（g）??画出径向分布图。[2.9]
道角动量为：轨道磁距为：[解]：子轨道能为：设轨道角动量M和Z轴的夹角为θ，则：θ=900
子离核的平均距离的表达式为：,得：节面或节点通常不包括的节面只有一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分.
由式可见，若r相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦可令），以ρ0表示，即：解之得：
1又因：2所以，当有极大值。此极大值为：3=36.4nm-34
根据此式列出D-r数据表：01.02.03.04.05.06.000.0150.0900.1690.1950.1750.1347.08.09.010.011.012.00.0910.0570.0340.0191.02×10-25.3×10-3?按表中数据作D-r图，得下图：?由图可见，氢原子的径向分布图有个极大（峰）和个极小（节面），这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在处，这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与有关而与无关，、和的径向分布图相同。
分析、的变化规律，估计的变化范围及特殊值，选取合适的值，计算出列于下表：作氢原子的图，证明极大值[解]：H原子的在处，并说明两种图形不同的原因。[2.11]
*从物理图象上来说，只能接近于0。0*0.100.200.350.500.700.901.101.301.000.820.670.490.370.250.170.110.0700.030.110.240.370.480.540.540.50?1.602.002.302.503.003.504.004.505.000.040.020.010.0070.0030.0010.001—
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