第三讲非齐次定解问题.pptVIP

第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，则对于任意的常数C1、C2，函数是方程的解。典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题：2.非齐次弦振动方程由于方程中非齐次项的出现，故若直接以代入方程，不能实现变量分离。第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日下面，我们求解上述初边值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分别是上述初边值问题(I)和(II)的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值问题的解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带非齐次初始条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(II)单独初始振动状态对振动过程的影响。单独考虑外力因素对振动过程的影响。第4页，共17页，星期日，2025年，2月5日3.齐次化原理现在讨论非齐次方程的初边值问题为了求解此问题，我们可以利用下述的齐次化原理，把非齐次方程的求解问题转化为相应的齐次方程的问题来解决，这样就可以直接利用前面关于齐次方程的结果。第5页，共17页，星期日，2025年，2月5日由弦振动方程的推导过程来看，自由项f(x,t)=F(x,t)/ρ表示时刻t时在x处单位质量受到的外力，而?u/?t表示速度。如果我们把一个时间段[0,t]划分成若干小的时段?tj=tj+1-tj(j=1,2,…,m)，在每一个小的时段?tj中，f(x,t)可以看作与时间无关，从而以f(x,tj)来表示。于是在时段?tj中自由项所产生的速度改变量为f(x,tj)?tj。如果把这个速度改变量看作在时刻t=tj时的初始速度，它所产生的振动可以由下面的齐次方程的初值问题描述：第6页，共17页，星期日，2025年，2月5日将其解记为?(x,t；tj,?tj)，按照叠加原理，自由项f(x,t)所产生的效果可以看成无数个这种瞬时作用的叠加，这样定解问题(II)的解u(x,t)应表示为由于(2.16)为线性方程，所以?(x,t；tj,?tj)与?tj成正比，即如果记W(x,t;τ)为如下齐次方程的定解问题的解那么有?(x,t;tj,?tj)=?tjW(x,t;tj)成立。于是定解问题(II)的解可以表示为第7页，共17页，星期日，2025年，2月5日于是我们可以得到如下的齐次化原理：若W(x,t;τ)是初边值问题(2.28)的解(其中τ是参数)，则初边值问题(II)的解可以表示为为了写出W(x,t;τ)的具体表达式，在初边值问题(2.28)中作变换t’=t-τ，于是有第8页，共17页，星期日，2025年，2月5日(2.29)与初边值问题(Ⅰ)属于同一类，直接利用前面分离变量法的结果我们得到：第9页，共17页，星期日，2025年，2月5日于是根据齐次化原理，初边值问题(II)的解为可以证明，在f(x,t)二阶连续可导，且在边界满足f(0,t)=f(l,t)=0的假设下，上面的级数确实是初边值问题(II)的解。第10页，共17页，星期日，2025年，2月5日第11页，共17页，星期日，2025年，2月5日例题2.6.3,p42第12页，共17页，星期日，2025年，2月5日