三垂线定理逆定理证明和应用求二面角.pptxVIP

三垂线定理性质判定定理性质线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PO平面PAO∪a⊥PO③PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAOPaAoα

三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα

PAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直①线面垂直③线斜垂直直线AP和平面α垂直平面内的直线a和平面一条斜线的射影AO垂直平面内的直线a和平面的一条斜线OP垂直PAOaαPAOaα

线射垂直线斜垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？PAOaαPAOaα

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOaαAO平面PAO∪a⊥AO③PA⊥αaα∪①PA⊥aPO⊥a②a⊥平面PAO

二、三垂线定理的应用例1.PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵由三垂线定理：应用1.证明线线垂直

例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，连结A1B三垂线定理∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影∴BD1⊥AB1

例2.已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1BADCA1D1B1C1

Ex：(1)P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(2)P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的 ()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(3)P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PA?BC，PB?AC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的(）(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心射影定位（三棱锥定位）ABD

用三垂线定理及逆定理求二面角

1．三垂线定理及逆定理PAOa定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。b三垂线定理及逆定理包含四线一面以后称这个平面为基面一、复习导入逆定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。

2．什么是二面角的平面角？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．PAB3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？“定义法”ab“垂面法”AHB“三垂线法”以后我们还将学习“投影法”、“空间向量法”和“异面直线距离法”等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小。

二、新课学习实例分析例1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．AA1BB1CC1DD1E思路分析：??????①定基面平面BCD②定垂线过E作EF⊥CD于FF③找斜线or射影作FG⊥BD于GG解：过E作EF⊥CD于F，过F作FG⊥BD∴∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，而EF=1，在△EFG中∴所求二面角大小为∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，EF⊥CD，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，又∵FG⊥BD，∴EG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．∴M④射影or斜线自现连结EG小结：---垂面内垂线在哪儿?

取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90o∴OE∥BC且OEBC∴例2．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若P