函数列与函数项级数.pptxVIP

第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性一．函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列(１)在点设(1)是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在

或

01总有02例１03证明它的收敛04证:05

它显然是发散的,所以函数列例2设证明它的收敛域为极限函数为=0。证：由于对任何实数都有故，对任意给定的，就有

定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。

一致收敛于f的几何意义:不一致收敛于f的几何意义:函数列在D上不一致收敛的定义：

定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)(4)

证:[必要性][充分性]一点都收敛，记其极限函数为

010203040506070809定理13.2证:[必要性]由上确界的定义有由此证得（6）式成立。由（7）式得[充分性]有

例301证明02证：03于是，04但由于05因此，该函数列在06上不一致收敛。07

二.函数项级数及其一致收敛性称为定义在Ｅ上的函数项级数，为函数项级数的部分和函数列。级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点。若发散，则称为的收发散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。

定理13.3（一致收敛的柯西准则）当当或推论：定义2?.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例4

定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在[-a，a]（a1）上讨论，由可知级数在[-a，a]上一致收敛。若在（-1，1）上讨论这个级数，则由（）（）在（-1，1）内不一致收敛。

又对一切根据函数项级数一致收敛的柯西准则，一致收敛。三.函数项级数的一致收敛性判别法定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）证：

例5证明函数项级数在上一致收敛。在证：由于对一切有而正项级数是收敛的，所以函数项级数上也收敛。定理13.6（阿贝耳判别法）设在区间I上一致敛；是单调的；（2）对每一个（1）（3）

01则级数02在区间Ｉ上一致收敛。03证：由（1），04使得当05时，对任意正整数p及06有07又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章§3引理的推论）得到08由此柯西准则定理得证。09定理13.7（狄利克雷判别法）设

（1）的部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调的；（3）在I上一致收敛于零。则级数在区间I上一致收敛。证：由（1），，对一切。因此当n，p为任意正整数时，对任何一个由（2）及阿贝尔引理，得到再由（3），对任给的，存在正整数N，当nN时，对一切有

所以01于是由一致收敛性的柯西准则，级数02在区间I上一致收敛。03例6函数项级数04在[0，1]上一致收敛。因为记05时，由阿贝耳判别法即得结果。06例7若数列07单调且收敛于零，则级数08在09上一致收敛。10证：因为在11上有12

所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。