《高等数学》(北大第二版)第11章习题.pptxVIP

第十一章无穷级数（习题课）10.1敛散性判定的方法设级数的部分和数列.为判定的敛散性，只要直接讨论数列Sn的敛散性即可。10.1.1直接判定法

10.1.2正项级数收敛准则正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列上有界.这一准则是正项级数各种判敛法的理论基础.10.1.3比较判敛法设有正项级数:例2判定下列级数的敛散性

最常用来作比较的级数是等比级数?qn(q0）,调和级数

比值判敛法对于正项级数如果根值判敛法对于正项级数如果

例5判定下列级数的敛散性

本例也可看作是由两个收敛的等比级数的对应项相加所得级数，据级数的性质可知是收敛的.10.1.4积分判敛法若f(x)连续、非负、不增，则正项级数与无穷级数同时收敛，同时发散。.

10.1.5任意项级数收敛准则从而当相应的无穷积分的敛散性易于判断时，可以通过积分来判定.

判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛法都能直接用上.一般地，有关于级数收敛的Cauchy准则：级数收敛的充要条件为，对于任意给定的?0,总存在N,使对任何nN及自然数p,总有|un+1+un+2+…un+p|?.按照这一准则也可以导出级数收敛的必要条件为un?0,及Leibniz判敛法.10.1.6laibniz判敛法如果交错级数则该级数收敛

也单调趋于零，故级数收敛.

故级数收敛.故原级数发散.

故原级数收敛.当x0时，f(x)单调递减，故有

由莱布尼兹定理知：（4）解因为故原级数绝对收敛.10.2幂级数解题的方法10.2.1收敛半径的确定

故级数的收敛半径为1.下面考虑的情形，显然有

10.2.2函数按幂级数展开的方法将函数展开成幂级数的方法有两种：1.直接展开法；2.间接展开法.

例14将下列函数展开成x的幂级数：

10.2.3求幂级数和函数的方法1.直接求和法：就是直接计算它的部分和极限，或者利用已知的展开式，因为每个展开式倒过来就是一个求和公式.2.间接求和法：是将所给级数作适当变形，使变形后的级数易于求和，然后将所得的和作适当的运算，就得所求的和函数了.

例15设级数试求：（1）收敛区间；（2）和函数S(x);(3)

10.2.4利用幂级数求数项级数的和

10.3Fourier级数展开的方法例20将函数展开成正弦级数.解将此函数作奇延拓，延拓成上的奇函数，则又延拓后的函数在x=0间断，在连续，所以

解设已作奇延拓和周期延拓，则可展开成正旋级数，其又f(x)作了上述延拓后在[0,l]上连续,所以

解（1）f(x)=x为奇函数，

例22。试将函数在展成正弦级数，并求级数