2026年人教版高考数学一轮总复习考点规范练57离散型随机变量的数字特征.docxVIP

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考点规范练57离散型随机变量的数字特征

一、基础巩固

1.若离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

P

a

a

则E(X)等于()

A.2 B.2或1

C.12 D

答案:C

解析:由题意知a2+a22=1,a

所以E(X)=0×12+1×1

2.现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16,12,13

A.1.18 B.3.55

C.1.23 D.2.38

答案:A

解析:由题意可知E(X)=1.2×16+1.18×12+1.17×1

3.(多选)袋内有除颜色外其他完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个球,直到取出白球后停止,则()

A.取2次后停止的概率为3

B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的概率为9

C.取球次数X的均值为2

D.取球次数X的方差为9

答案:BD

解析:依题意,取球次数X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=35

P(X=2)=25

P(X=3)=25×1

故E(X)=1×35+2×310

D(X)=1

设事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数”,则P(A)=P(X=2)=310,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=910.

4.(多选)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=13,则下列结论正确的是(

A.E(X)=23

B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4

D.D(X)=4

答案:AB

解析:因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=13,所以P(X=1)=2

所以E(X)=0×13+1

D(X)=0

所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.

故选AB.

5.某公司有5万元资金用于投资某开发项目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.统计过去200例类似投资项目的结果如表所示.

投资成功

投资失败

192例

8例

则估计该公司投资该项目一年后可获收益的均值为元.?

答案:4760

解析:依题意,用频率估计概率,可知一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0.04,故估计一年后可获收益的均值为6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元).

6.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,x1x2,E(X)=49,D(X)=2,则x1+x2=

答案:17

解析:由题意可知E(X)=23x1+13x2=

D(X)=x1-

因为x1x2,

所以x1=-59,x2=

所以x1+x2=17

7.某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,全为黑球的概率为110,则黑球的个数为;若记取出的3个球中黑球的个数为X,则D(X)=.

答案:39

解析:设黑球的个数为n,

由题意可知Cn

解得n=3.

X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=C2

P(X=2)=C2

P(X=3)=C

故X的分布列为

X

1

2

3

P

3

3

1

E(X)=1×310+2×35

D(X)=1

8.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则随机变量X的均值为.?

答案:5

解析:依题意,从7天中随机抽取3天,有C73=35(种)取法,其中至少有1天空气质量为良的取法有C21C52+C2

由已知得X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=C33C73=135

P(X=2)=C42C31C7

故E(X)=0×135+1×1235+2

9.(2024新高考Ⅱ,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.

某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;

(2)假设0pq,

(ⅰ)若使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛?

(ⅱ)若使得甲、乙所在队的比