函数积分学第2-5节定积分.pptxVIP

第二节定积分的概念与性质三、定积分的几何意义一、两个实例二、定积分的定义四、定积分的性质与N-L公式

一、两个实例xyo曲边梯形1曲边梯形的面积与两条直线ax=、和ab由连续曲线直接求A是困难的要设法近似取代，且要尽量精确所围成矩形面积梯形面积

方法:用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）矩形总面积越接近曲边梯形面积．由此得出求曲边梯形面积A的一般思路：

曲边梯形如图,1210bnxnxxxxa=-=L],[ba内插入若干个分点，在区间;1--=Diiixxx长度为],[1-iixx，小区间],[n个ba分成把区间，上任取一点ix在每个小区间iixx],[1-(1)分割(2)近似替代相应曲边梯形面积的近似值为x2

曲边梯形面积A的近似值为则当λ→0时,就有为此必须让所有区间的长度都无限缩小即:曲边梯形面积为(3)求和将所有小曲边梯形的面积相加可得(4)取极限要得到A的精确值必须利用极限工具,设λ为所有小区间长度的最大值},,xmax{n21D=LxDxD,λ

2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程S.（3）将各小段的路程相加，便得到路程的近似值，)(tvv=已知速度0)(≥tv，且思路：因为速度是变化的，故无法直接求出路程S，于是（1）把整段时间分割成若干小段，（2）每小段上速度看作不变，求出该小段上路程的近似值（4）通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．

即：（1）分割某小段路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值(2)近似替代

01从以上两例可以看出：02近似替代03分割04求和05取极限06两个背景完全不同的例子，却有着完全类似的解决方案07当我们忽略两例的背景，而把上述解题的思路抽象出来，08就可以得到以下重要的定积分的概念

二、定积分的定义定义

记为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和

附注：

若不特别申明，我们以后只讨论连续函数的定积分定理2存在定理定理1CBAD

例1利用定义计算定积分解则：

故：1这显然与实际吻合但类似的计算非常困难，参见教材P123例1因此，要寻找求定积分的更好的方法——牛—莱公式

三、定积分的几何意义表示曲边梯形的面积0101020304表示曲边梯形面积的代数和表示曲边梯形面积的负值(x)任意020304

即：在x轴下方的面积取负号．轴上方的面积取正号；在之间的各部分面积的代数和．直线的图形及两条轴、函数它是介于xbxaxxfx==,)(

例2利用几何意义计算定积分解1表示由x=0,x=1,y=0,y=x所围成的直角三角形的面积表示由x=-π,x=π,y=0,y=sinx所围成的两块图形两块图形面积相等,又分别在上下半平面.=-π1-1的面积,

例2利用几何意义计算定积分解是半径为a的圆表示半径为a的圆面积的四分之一(第一象限部分)aa用上述方法求定积分只适用于特殊情形,一般情形,需另谋出路——牛—莱公式

对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．四、定积分的性质

和牛顿—莱布尼茨公式

证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2函数的和与差可与定积分交换顺序性质1

证性质3常数可与定积分交换顺序常数是“自由人”òò=babadxxfkdxxkf)()((k为常数).

性质4补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若定积分对于积分区间具有可加性则性质1、2、3常用于定积分的计算

证性质5

解令于是性质5常用于定积分的大小比较3

性质5的推论：（1）证

证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）

证性质6常用于估计积分值的大致范围性质6

解4

性质7（定积分中值定理）证由闭区间上连续函数的介值定理知积分中值公式性质7常用于有关定积分的证明题中

使即积分中值公式的几何解释：

中值定理的应用:原函数存在定理设函数)(xf在区间],[ba上连续，考察定积分记为：称为积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，],[ba上定义了一个函数，先引入积分上限函数的概念x为],[ba上的一点，并且设所以它在一个取定的x值，定积分都有一个对应值，则对于每或：变上限函数——积分上限函数的性质

积分上限函数的性质证：显然只能利用导数的定义来证ΔΦ（P129）

由积分中值定理得证毕ΔΦ

定理（原函数存在定理）则积分上限的函数就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的