2025 年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题及答案解析.docxVIP

2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题及答案解析

本卷共15道题目,12道填空题,3道解答题,所有答案填写在答题纸上,满分10分

一、填空题(每小题8分,共计96分)

1.设x∈R,集合x,2x,x2

2.设n为正整数,定义Pncosx

P2025

3.若等差数列an满足:a10,S7+a4=0,其中S7为数列前

4.如图,在平面直角坐标系上有一动点P,每次平行坐标轴移动一个单位。设动点P从P10,1点出发,向左移动一个单位到达P2-1,1,向下移动一个单位到达P3-1,0,再向下移动一个单位到达P4-1,-1,接着向右移动一个单位到达

5.设非零向量a,b满足?x,y∈R,3xa+

6.已知实数x,y满足x2+y2=1

7.设x,y,z∈R,且5x2+

8.设P-ABCD为四棱锥,面PAB⊥底面ABCD,且PA=PB=5,

9.动点M从原点出发,每次沿数轴向正方向移动一个单位或两个单位长度.现每次用掷一枚非均匀硬币的方式决定M如何移动:若掷得正面,M移动两个单位;若掷得反面,则MM移动一个单位。设掷得正面的概率为P,则M恰好移动到2025点的概率为_____.

10.记组合数Cnk=n!k!n-k!,数列ak满足.ak为C2025k除以3的余数

11.如图,在k×k的平行四边形中,A,B为一条对角的两个顶点。一个动点从A出发按照以下规则运动到B点:动点沿着图中箭头方向(往右或往上)移动,每次移动一步(一步或是图中最小平行四边形的两条邻边之一,或是最小平行四边形对角线),到达最小四边形的一个顶点。则动点从A移动到B

12.设A,B为集合,满足A=3且A∪B={1,2,?,9}.若A中所有元素的乘积等于

二、解答题(13题满分14分,14、15题满分各20分,合计54分)

13.已知抛物线E:x2=2pyp0的焦点为F,Pm,nm≠0是E的动点,过P点作E的切线l,直线l与椭圆C:x2a2+y2b2=

(1)证明直线y=-pb2a2

(2)若l与FQ交于G,且a=2b,证明

14.将平面用水平和竖直的直线分成由1×1的正方形构成的网格,设P是由2025个小正方形构成的连通图形(连通是指从其中任何一格可以经过若干有公共边的方格走到另一格),记?P为边界折线的长度。求

15.设复系数多项式fz=zn+an-1zn

z

证明:存在实数x∈-

f

2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准

一、填空题(每小题8分,共计96分)

1.8

2.0

3.7

4.(-16,8)

5.arccos

6.-4

7.30

8.2

9.1

10.1004:5:4

11.C

12.7

1.设x∈R,集合x,2x,x2

答案8

解因为x≠x-4,且x≠8x,否则

所以x=x2-12x+40?x=5,

而x=8满足题设。此时x2=8x,又x2x

2.设n为正整数,定义Pncosx

P2025

答案0

解因为

cos

所以,cosnx+cosn-2x=

所以P

=

3.若等差数列an满足:a10,S7+a4=0,其中

n的最大值为_____.

答案7

解设等差数列的公差为d,由S7+a4=0,得a

2n-1a1+n-12d≥0,将a1=-3d代入得,-32n-1+n-12≤0,故n的最大值为7.4.如图,在平面直角坐标系上有一动点P,每次平行坐标轴移动一个单位.设动点P从P10,1点出发,向左移动一个单位到达P2-1,1

答案(-16,8)

解答考虑直线y=xx0上的点的下标,它们都是偶数的平方数。3121000322=1024,而P1024的坐标为(-16,-16)。又P1024和P1000

5.设非零向量a,b满足?x,y∈R,3xa+4yb

答案:arccos

解法1当x≤0时,题中不等式自然满足,所以只要考虑x

将不等式两边同时除以3ax,得?x,y∈R,a0+4y3axb≥23,因此题设不等式等价为?t∈R,a

a0+tb

9b2t2+18bcosαt+5

解法2将已知条件两边平方得5x2a2+24xyabcosθ+16y2b2≥0,

6.已知实数x,y满足x2+y