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2025年重庆市高中数学联赛初赛试题及答案解析

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.

1.设集合A={1,2,3,?,2025

2.四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,设AB、BC、

3.从面积为1的正六边形的6个顶点中随机选3个不同的点,它们构成的三角形的面积大于14的概率为_____.

4.已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,若过点F1的直线与双曲线交于A,B两点,且

5.在△ABC中,2sin2

6.若实数m,n使得关于x的方程x3+mx+n=0有模为

7.设函数fx=xsin2πlnx在区间(0,1]上的最大值为a,在区间1,2上的最大值为b,

8.小明在注册账号时想到一个问题.他将这个问题简化如下:可以使用字符1,2,3,a,b,c,A,B,C来组成五位密码,要求必须包含数字、小写字母和大写字母,且不可以出现两个相同的字符相邻.例如密码可以设置为123aA

二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)

已知函数fx=2x,x≤0log2x+1,x0

10.(本题满分20分)

已知数列an满足an=12nn∈N*,数列bn满足b

(1)若S4n=151-12

(2)对于给定的n∈N*,求所有可能的

11.(本题满分20分)

在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2=1a1的右焦点为F,已知椭圆上有三个点A、B、C满足四边形OACB为平行四边形,C关于O的对称点为D.若A、B、C、

2025年重庆市高中数学联赛初赛试题参考答案

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.

1.设集合A={1,2,3,?,2025

【答案】225

【解析】B={3,6,9,?,6075

2.四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,设AB、BC、

【答案】2

【解析】利用勾股定理可算得LM=MN=22,LN=1+14+14=62

3.从面积为1的正六边形的6个顶点中随机选3个不同的点,它们构成的三角形的面积大于14的概率为_____.

【答案】710

【解析】记正六边形的6个顶点顺时针依次为A1,A2,A3,A4,A5,A6,易知从中选3个不同的点构成的三角形只有三种不同的形状,分别为ΔAiAi+1Ai+2,Δ

4.已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,若过点F1的直线与双曲线交于A,B两点

【答案】2

【解析】不妨A在双曲线靠近F1的这一支上,取AB中点C,则F2C⊥AB.设AF1=x,由双曲线的第一定义知AF2=BF2=x+2a,BF1=x+4a,从而AB=4a,AC=2a.由∠AF1

5.在△ABC中,2sin2

【答案】3

【解析】由余弦定理及均值不等式,cosA=b2+c2-a22bc≥2bc-a22bc=1-a

又当A=arcsin35,B=C=π

6.若实数m,n使得关于x的方程x3+mx+n=0有模为

【答案】-

【解析】

法一:设方程x3+mx+n=0有模为3的虚根a+bi,其中a,b∈R满足a2+b2=9,b≠0.代入有a+bi3+ma+bi+n=0,从而有a3-3ab2+am+n=0且3a2b-b3+bm=0

法二:由实系数多项式方程虚根成对原理,可设方程x3+mx+n=0的两虚根为a+bi,a-bi,其中a,b∈R满足

7.设函数fx=xsin2πlnx在区间(0,1]上的最大值为a,在区间1,2上的最大值为b,

【答案】3e

【解析】由fe34=e340,fe14=e140且e-34∈0,1,e14∈1,2知a0,b0.注意fx满足fex=efx,故fx在区间(0,1]上的最大值a即为在区间1e,1上的最大值.又注意在区间e

8.小明在注册账号时想到一个问题.他将这个问题简化如下:可以使用字符1,2,3,a,b,c,A,B,C来组成五位密码,要求必须包含数字、小写字母和大写字母,且不可以出现两个相同的字符相邻.例如密码可以设置为123aA

【答案】25758

【解析】我们先只考虑相邻字符不同的密码,共有9×84