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必修二数学公式总结

一、空间几何体

（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积

1.棱柱

-表面积：棱柱的表面积等于侧面积与两个底面积之和。设棱柱的底面周长为\(C\)，高为\(h\)，底面面积为\(S_{底}\)。直棱柱的侧面积\(S_{侧}=Ch\)，那么直棱柱的表面积\(S=S_{侧}+2S_{底}=Ch+2S_{底}\)。例如，对于一个底面是边长为\(a\)的正六边形，侧棱长为\(l\)的直六棱柱，底面正六边形的周长\(C=6a\)，底面面积\(S_{底}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\)，则其侧面积\(S_{侧}=6al\)，表面积\(S=6al+3\sqrt{3}a^{2}\)。

-体积：棱柱的体积公式为\(V=S_{底}h\)，其中\(S_{底}\)是底面面积，\(h\)是棱柱的高。比如一个长方体，其长、宽、高分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，底面面积\(S_{底}=ab\)，高为\(c\)，那么体积\(V=abc\)。

2.棱锥

-表面积：棱锥的表面积等于侧面积与底面积之和。对于正棱锥，设底面周长为\(C\)，斜高为\(h\)（侧面三角形的高），底面面积为\(S_{底}\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{1}{2}Ch\)，表面积\(S=S_{侧}+S_{底}=\frac{1}{2}Ch+S_{底}\)。例如，正三棱锥底面边长为\(a\)，斜高为\(h\)，底面正三角形周长\(C=3a\)，底面面积\(S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{3}{2}ah\)，表面积\(S=\frac{3}{2}ah+\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\)。

-体积：棱锥的体积公式为\(V=\frac{1}{3}S_{底}h\)，其中\(S_{底}\)是底面面积，\(h\)是棱锥的高。比如一个底面是边长为\(a\)的正方形，高为\(h\)的正四棱锥，底面面积\(S_{底}=a^{2}\)，体积\(V=\frac{1}{3}a^{2}h\)。

3.棱台

-表面积：棱台的表面积等于侧面积与上、下底面积之和。设棱台上底面周长为\(C\)，下底面周长为\(C\)，斜高为\(h\)，上底面面积为\(S_{上底}\)，下底面面积为\(S_{下底}\)，则侧面积\(S_{侧}=\frac{1}{2}(C+C)h\)，表面积\(S=S_{侧}+S_{上底}+S_{下底}=\frac{1}{2}(C+C)h+S_{上底}+S_{下底}\)。

-体积：棱台的体积公式为\(V=\frac{1}{3}h(S_{上底}+S_{下底}+\sqrt{S_{上底}S_{下底}})\)，其中\(h\)是棱台的高，\(S_{上底}\)和\(S_{下底}\)分别是上、下底面的面积。例如，正四棱台的上底面边长为\(a\)，下底面边长为\(b\)，高为\(h\)，上底面面积\(S_{上底}=a^{2}\)，下底面面积\(S_{下底}=b^{2}\)，则体积\(V=\frac{1}{3}h(a^{2}+b^{2}+ab)\)。

（二）圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积

1.圆柱

-表面积：设圆柱的底面半径为\(r\)，母线长为\(l\)。圆柱的侧面积\(S_{侧}=2\pirl\)，两个底面面积\(S_{底}=2\pir^{2}\)，所以圆柱的表面积\(S=S_{侧}+2S_{底}=2\pirl+2\pir^{2}=2\pir(l+r)\)。例如，一个底面半径为\(2\)，母线长为\(5\)的圆柱，其侧面积\(S_{侧}=2\pi\times2\times5=20\pi\)，底面积\(S_{底}=2\pi\times2^{2}=8\pi\)，表面积\(S=20\pi+8\pi=28\pi\)。

-体积：圆柱的体积公式为\(V=S_{底}h=\pir^{2}h\)，其中\(r\)是底面半径，\(h\)是圆柱的高。比如底面半径为\(3\)，高为\(4\)的圆柱，体积\(V=\pi\times3^{2}\times4=36\pi\)。

2.圆锥

-表面积：设圆锥的底面半径为\(r\)，母线长为\(l\)。圆锥的侧面积\(S_{侧}=\pirl\)，底面面积\(S_{底}=\pir^{2}\)，所以圆锥的表面积\(S=S_{侧}+S_{底}=\pirl+\pir^{2}=\pir(l+r)\)。例如，一个底面半径为\(3\)，母线长为\(5\)的圆锥，其侧面积\(S_{侧}=\pi\