函数的单调性(102).pptxVIP

§2.3函数的单调性基础知识自主学习要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

定义当x1x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是__________f（x1）f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的

单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D

2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M

基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.B

2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析∵f（x）在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,若x1x2,则f(x1)f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都有f(x)≠0,则f(x)=0无根.C

3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)解析由已知条件：不等式等价于解得-1x1,且x≠0.C

4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则()A.B.C.D.解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则2k+10，即D

5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为______.解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f（x）为增函数.①③

思维启迪题型一函数单调性的判断判断下列函数的单调性，并证明.先判断单调性，再用单调性的定义证明.（1）采用通分进行变形，（2）采用因式分解进行变形，（3）采用分子有理化的方式进行变形.题型分类深度剖析

解（1）函数下面采用定义证明:任取x1、x2∈（-1，+∞），且-1x1x2，则有x1-x20，∵-1x1x2,∴x1+10,x2+10,x2-x10.即f(x1)-f(x2)0，所以f(x1)f(x2).

函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，故在（-1，+∞）上为减函数.01任取x1、x2∈R，且x2x1≥1,则f(x1)-f(x2)==(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).∵x2x1≥1,∴x2-x10,x2+x12,x2+x1-20,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)0,即有f(x1)f(x2).证明如下：02

故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上是减函数.函数f(x)=在［-1，+∞）上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈［-1,+∞）