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（2025河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，
薄板的边长（cm）
20
30
出厂价（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。
①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。
②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线的顶点坐标是。
【解析】（1）根据每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂价的表达式（为一次函数）再根据表格中的数据，求出解析式。（2）根据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。
【答案】解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，
则y=kx+n………………2分
由表格中数据得解得∴y=2x+10
（2）①设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得
P=ｙ－ｍｘ2＝2x+10-mx2
将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26=解得m=
∴
②∵∴当（在5~50之间）时，
即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元
【注：边长的取值范围不作为扣分点】
【点评】本题是一次函数、二次函数的用，①求表达式，②求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小；二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。教学时要多加注意。难度中等。
（2025黑龙江省绥化市，23，6分）如图，二次函数的图像经过坐标原点，与x轴交与点A(-4，0)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标．
【解析】解：（1）把点A（-4,0）及原点（0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
解得
所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．由已知条件得（2）∵点A的坐标为（-4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=4，解得h=4，
当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，点P的坐标为（-2，4）；
当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，解得x1=-2+2，x2=-2-2
所以，点P的坐标为（-2+2，-4）或（-2-2，-4），
综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4）．
【答案】⑴；⑵点P的坐标是：（-2,4）、（-2+，-4）、（-2-，-4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．难度中等．
（2025甘肃兰州，27,10分）若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求的值．
第27题图
第27题图
解析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD．根据本题定理和结论，得到，根据顶点坐标公式，得到
，列出方程，解方程即可求出的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACD，得，据此列出方程，解方程即可求出的值．
解：（1）当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD．
∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB==
又∵,∴=2×
∴=,
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