高等数学课件-D110闭区间上连续函数的性质.pptxVIP

第十节一、最值定理二、介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质第一章

一、最值定理注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,

例如,又如,也无最大值和最小值无最大值和最小值

推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.二、介值定理由定理1可知有证:设上有界.定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)

定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.

例.证明方程内容小结一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则

已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:三.一致连续性

例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理4.上一致连续.(证明略)思考:P74题*7提示:设存在,作辅助函数显然

内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;当时,使必存在上有界;在在

1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:

则证明至少存在使提示:令则易证2.设作业P74(习题1－10）2;3;5一点

备用题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.