人教版八年级下册数学精品教学课件 第18章 重点题型 正方形中典型的几何模型.pptVIP

满分题溯源第十八章平行四边形重点题型正方形中典型的几何模型荣老师告诉你由于正方形的边、角、对角线的性质非常特殊，所以在正方形中存在很多典型的几何模型，如：“一线三垂直模型”“十字架模型”“半角模型”等等，利用常见模型中的结论建立常见模型解决问题是解决与正方形有关探究问题的关键.类型勾股弦图变形图11.一线三垂直模型(1)一线三垂直——“L”字模型(如图1)(2)一线三垂直——“K”字模型(如图2)例1如图3，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一动点(不与点A，B重合).连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GF＝GC；证明：如图4所示，连接DF.∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.∵点A关于直线DE的对称点为F，∴易知△ADE≌△FDE.∴DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°.(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.解：BH＝2AE.证明：如图4，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，连接EM.由(1)易得∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠ADC＝90°，∴AD－AM＝AB－AE，即DM＝BE，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°.2.十字架模型在正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如图5①中的线段AF与BE，图5②中的线段AF与EG，图5③中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等.如图6，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF.例2(1)求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵BG⊥AE，∴∠BGE＝90°.∴∠EBG＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠EBG.∴△ABE≌△BCF(ASA).∴BE＝CF.(2)若正方形ABCD的边长是5，BE＝2，求AF的长.例3如图7，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AD，BC上，求折痕FG的长.解：如图8，连接AE，过点G作GH⊥AD于点H，则∠GHF＝90°，易得HG＝AB.由翻折变换的性质得GF⊥AE，易知∠AFG＋∠DAE＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝90°.∴HG＝AD，∠DEA＋∠DAE＝90°.∴∠AFG＝∠DEA.类型绕顶点旋转——半角模型2(1)如图9，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图10，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.如图11，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE.例4(1)求证：CE＝CF.(2)旋转图中哪个三角形可以得到△CBE？怎样进行旋转？解：△CDF.将△CDF绕点C逆时针旋转90°可以得到△CBE.(3)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：GE＝BE＋GD成立.理由如下：由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠DCF＋∠ECD＝∠BCE＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝45°＝∠GCE.类型正方形中过对角线交点的直角问题3例5如图13，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF.(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？课堂总结这节课你有哪些收获？课后作业1.请完成教材对应练习2.请完成配套练习册相应练习题