不定积分概念性质.pptxVIP

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第5章不定积分

一、问题的引入

——微分

——积分

如：已知S＝S(t)，求V(t)——

已知V＝V(t)，求S(t)——

微分

积分

5.1不定积分的概念与性质

1．运算角度

2．实际问题

即：微分的逆运算是积分

二、原函数

例

1.定义:

是的一个原函数.

问题:1.原函数何时存在?2.有多少个?3.怎样求?

2.原函数存在定理：

简言之：连续函数一定有原函数.

问题：

(1)原函数是否唯一？

例

（为任意常数）

(2)若不唯一它们之间有什么联系？

3.原函数结构定理：

（1）若，则对于任意常数，

（2）若和都是的原函数，

则

（为任意常数）

证

（为任意常数）

即：如果函数有一个原函数，则必有无穷多个原函数，且它们之间只相差一个常数，因而，广义地讲，一个函数的原函数只有一个。

｛全体原函数｝＝任意一个原函数＋Ｃ

三、不定积分

任意常数

积分号

被积函数

1.不定积分的定义：

被积表达式

积分变量

即：

例1求

解

解

例2求

不定积分的几何意义

一簇曲线

初始条件：在f(x)的所有原函数中确定一个的条件.

例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.

设曲线方程为

由曲线通过点（1，2）

解

根据题意知

所求曲线方程为

3.不定积分的性质

性质1求不定积分和求导数、微分互为逆运算

性质2

性质3

(先积后微，形式不变；先微后积，相差常数）

23

=

注：

5.2基本积分公式与直接积分法

基本积分表(1):

基本积分公式要熟记

基本积分公式要熟记

例2求积分

例1求积分

注:最后结果在没有积分号时要加C

例3求积分

解

例4

例5求积分

解

例6求积分

解

例7求积分

解

说明：

以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

解

所求曲线方程为

——基本积分表(1)

不定积分的性质

原函数的概念：

不定积分的概念：

求微分与求积分的互逆关系

小结

直接积分法

思考题

符号函数

在(－∞,+∞)内是否存在原函数？为什么？

解答

假设有原函数F(x)，则

故假设错误

即f(x)在(－∞,+∞)内不存在原函数.

结论

含有第一类间断点的函数都没有原函数.

由“F(x)可导必连续”得:

C1＝C2＝F(0)

但F(x)在x＝0不可导

提示：化分数指数

提示：用除法

练习：

提示：用除法

提示：用除法

提示：用三角公式

提示：用三角公式

提示：用三角公式

提示：用三角公式

提示：拆项

P1701(3)(5)(6)(7)

2

预习5.3换元积分法

作业：

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