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《现代学》第八讲作业

1.公钥为（83，41，4，77），私钥为57，另外选取的随机数是23，明文的散列值是56。

签名过程：

r=(gkmodp)modq=(423mod83)mod41=10

k-1mod41=25

s=[h(m)+x*r]*k-1modq=(56+57*10)*25mod41=29

验证过程：

w=s-1modq=17

u1=[h(m)*w]modq=(56*17)mod41=9

u2=r*wmodq=10*17mod41=6

v=(gu1u296

*ymodp)modq=(4*77mod83)mod41=10=r

故该签名有效。

者已知公钥（p,q,g,y）而且已经获得了通过该随机数k参与的签名（r，s）

和明文散列值h(m)，那么通过s=[h(m)+x*r]*k-1modq变形，得到：x=[s*k–

h(m)]*r-1modq。所以k是非常的。

同样，使用重复的随机数k也是不安全的。通过下述可以得到其密钥x：

由于使用同样的随机数k，那么两次的r相同，公钥（p,q,g,y）是已知的，该用

户的两次签名和散列值（r,s1）,h(m1)和(r,s2),h(m2)都是可以得到的。那么：

s1*k=h(m1)+x*rmodq,s2*k=h(m2)+x*rmodq，联立有：

k=[h(m1)–h(m2)]*(s1–s2)modq

这样就可以算出密钥k了。

3.公钥（e,n）=(5,35),消息是28，那么要想签名，应该首先得到私钥，在题中公

钥很简单就能通过穷举法获得私钥：

35=5*7，有35的欧几里得函数为4*6=24

故私钥d=e-1mod24=5

所以s=[h(m)]d5

modn=28mod35=28

4.

(x,y)=k*G=3*(2,7)=(8,3)

r=xmodp=8mod11=8

k-1modp=4

s=(e+r*d)*k-1modp=(10+8*7)*4mod11=0

故签名为（8，0）

这样应该重新选择随机数，所以选择随机数k=5，步骤同上，求得签名为（3，4）：