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微积分B(1)第八次习题课题目(第十二周)
教学目的:本次习题课的主要内容为不定积分的有理函数积分法与可积性以及定积分的计
算。有理函数积分需要掌握有理函数的分解;定积分的可积性需要掌握可积的充要条件;
定积分的计算要求会用定积分解决简单的极限问题,以及N-L、定积分的换元、分部
积分等方法。
一、有理函数积分
2
axbxp
1.当abp,,满足什么条件时,32dx是有理函数?
x(x1)
3
x
2.求不定积分22dx.
(x1)(xx1)
二、定积分的概念,可积性
3.求证:假设在上可积,则0,存在区间上的阶梯函数,使得
f(x)[ab,][ab,]gx()
b
a|f(x)gx()|dx.
4.设在上可积,求证函数在上可积.
f(x)[ab,]exp[f(x)][ab,]
5.设函数在区间上可积,,在区间可积.能否
f(x)[ab,]f([ab,])[AB,]gu()[AB,]
断定函数g(f(x))在区间[ab,]可积?试研究函数
0,x是无理数,0,u0,
f(x)1mgu()
素,
,x(mn,互)1,u0.
nn
1n
6.定积分0f(x)dx是和式f()xii的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依
i1
11ni1
据.设定积分0f(x)dx存在,则当n时,两个和式:Snf()和
ni1n
1n2i1
1
nf()都趋向于0f(x)dx.不过收敛速度有所不同.研究下面的问题:
ni12n
假设在上连续,试证
f(x)[0,1]
1111
(1)|f(x)dxS|M;(2)|f(x)dx|M,
0n2n0n4n
Page1of3
其中Mmax{|f(x)|}
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