三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编：专题12 新定义题型（全国通用）（解析版）.docxVIP

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专题12新定义题型

考点

三年考情（2023-2025）

命题趋势

考点1新定义题型

新定义题型可以出现在选择题、填空题和解答题中。例如，2024年新高考Ⅰ卷11题是解析几何的新定义多选题，19题是数列的新定义解答题

2023,2024年均出现在19题的压轴题，但25年没有出现，减少了类似题型的频率。

考点01新定义题型

一、单选题

1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数d=S?1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1

A．3N2=2

C．N22=N

【答案】D

【分析】根据题意分析可得S?1lnN1

【详解】由题意得S?1lnN1=2.1,S?1lnN

故选：D.

2．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得PM?

①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．

A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题

C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题

【答案】B

【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A，当任意x∈A，都有1x

【详解】对于①，不妨设椭圆方程为x2a2

则椭圆上一点P到M距离为|PM|=(x?m)

当ma时，对称轴x=m1?b

总存在m使得(m?a)(m+a)=1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，

对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无穷大，|PM|∈[m,+∞)，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故

故选：B

【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点M距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可．

二、解答题

3．（2025·北京·高考真题）已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,M=x,y∣x∈A,y∈A，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：x1,y1,x2,y

(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项．

(2)设Γ为K列，且Γ中的项xi,yii=1,2,…,n满足：当i为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：当i为偶数时，x

(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．

【答案】(1)6,7或7,6

(2)不能，理由见解析

(3)证明过程见解析

【分析】（1）根据新定义即可得解；

（2）假设(3,2)与(4,4)能同时在Γ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在Γ中的结论；

（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.

【详解】（1）根据题目定义可知，xi+1=x

若第一项为3,3，显然x2=0或?1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是6,7或

（2）假设二者同时出现在Γ中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设3,2在4,4之前.

显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从3,2到4,4必定要向下一项走奇数次.

但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从3,2到4,4必定要向下一项走偶数次.

这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.

（3）法1：若M中的所有元素构成K列，考虑K列中形如xi

这样的项共有16个，由题知其下一项为xi+1

而xi+1

横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，

即对于16个xi,y

综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．

法2：假设全体元素构成一个K列，则n=64.

设T1=x,y

则T1和T2都包含32个元素，且T1

如果存在至少两对相邻的项属于T2，那么属于T2的项的数目一定多于属于

所以至多存在一对相邻的项属于T2

如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，

否则将导致属于T2的项的个数比属于T1的项的个数多2，此时

从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T1，第偶数项属于T

这个序列的后64?2m项中，第奇数项属于T2，第偶数项属于T

如果不存在相邻的属于T2的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32

这意味着必定存在m∈0,1,2,...,32

由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T1中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是m和32?m

但容易验证，T1和T2都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以m=32?m=16，得

从而有x2k?1

这就得到T1

再设T3=x,y

则同理有x2k?1

这意味着T3

从而得到T3

所以由M的全部元素组成的序列都