第三节矩阵的秩.pptVIP

第三节矩阵的秩第1页，共11页，星期日，2025年，2月5日定义3.1(矩阵的秩定义一)行初等变换行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵非零行的行数称为矩阵A的行秩.例1求A和的行秩解:主元1主元2A的行秩的行秩第2页，共11页，星期日，2025年，2月5日定义3.2A的行秩和列秩统称为矩阵A的秩,记为:显然,注:(1)增广矩阵的秩行初等变换行阶梯形矩阵非零行行数线性方程组的秩高斯消元法线性方程组中方程的实际个数n元线性方程组Ax=b,的行秩称为A的列秩矩阵的行秩和列秩相等.第3页，共11页，星期日，2025年，2月5日未知数个数基本变量个数自由变量个数自由变量个数方程个数=未知数个数,唯一解,方程个数未知数个数,无穷多解.(2)若线性方程组的系数矩阵设方程组有解,方程组中方程个数,未知数个数,行阶梯形矩阵非零行行数or方程组中所含方程实际个数or行阶梯形矩阵主元个数or基本变量个数第4页，共11页，星期日，2025年，2月5日定理3.1n元线性方程组Ax=b,(1)Ax=b无解(2)Ax=b有唯一解(3)Ax=b有无穷多解定理3.2n元齐次线性方程组Ax=0,(1)Ax=0只有零解(唯一解)(2)Ax=0有非零解(无穷多解)第5页，共11页，星期日，2025年，2月5日例2假设一个经济由煤炭，电力，钢铁三部分组成，各部分的分配如图，1973年诺贝尔经济学奖得主列昂惕夫著名的“投入—产出”模型结论：存在各部门的总产出的平衡价格，使每个部门的总收入等于总支出，求平衡价格。煤炭电力钢铁第6页，共11页，星期日，2025年，2月5日煤炭电力钢铁设x,y,z分别表示煤炭,电力,钢铁部门的年度总产出价格，解：平衡价格使得每部门的收入=支出钢铁电力煤炭第7页，共11页，星期日，2025年，2月5日有非零解如果煤炭产出价格是9400万元，电力8500万元，钢铁1亿元，每个部门都收支平衡。第8页，共11页，星期日，2025年，2月5日