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运筹学题目及答案

一、单项选择题

1.线性规划问题的可行域是（）。

A.凸集

B.非凸集

C.直线

D.曲线

答案：A

2.单纯形法中，检验数小于零的列对应的基变量（）。

A.增加

B.减少

C.不变

D.无法确定

答案：A

3.线性规划问题的标准形式是（）。

A.所有变量都是非负的

B.所有约束条件都是等式

C.所有变量都是正的

D.所有约束条件都是不等式

答案：A

4.线性规划问题中，若目标函数的最优值是无界的，则该问题（）。

A.有最优解

B.无最优解

C.有无穷多个最优解

D.有唯一最优解

答案：B

5.线性规划问题中，若目标函数的最优值是负无穷，则该问题（）。

A.有最优解

B.无最优解

C.有无穷多个最优解

D.有唯一最优解

答案：B

二、填空题

1.线性规划问题中，目标函数的最优值是（）。

答案：有限的

2.单纯形法中，检验数大于零的列对应的基变量（）。

答案：减少

3.线性规划问题中，若目标函数的最优值是正无穷，则该问题（）。

答案：无可行解

4.线性规划问题中，若目标函数的最优值是零，则该问题（）。

答案：有无穷多个最优解

5.线性规划问题中，若目标函数的最优值是负无穷，则该问题（）。

答案：无可行解

三、解答题

1.题目：已知线性规划问题的标准形式为：

\[\text{Maximize}Z=3x_1+2x_2\]

\[\text{Subjectto:}\]

\[x_1+x_2\leq10\]

\[2x_1+x_2\leq15\]

\[x_1,x_2\geq0\]

请使用单纯形法求解该问题。

答案：

首先，将问题转换为标准形式，引入松弛变量\(x_3\)和\(x_4\)：

\[x_1+x_2+x_3=10\]

\[2x_1+x_2+x_4=15\]

\[x_1,x_2,x_3,x_4\geq0\]

初始单纯形表如下：

\[

\begin{array}{c|cccc|c}

x_1x_2x_3x_4\text{RHS}\\

\hline

Z-3-2000\\

x_3111010\\

x_4210115\\

\end{array}

\]

选择\(x_2\)作为进入基变量，\(x_3\)作为离开基变量，进行迭代，最终得到最优解：

\[x_1=5,x_2=5,x_3=0,x_4=0\]

\[Z=3\times5+2\times5=25\]

2.题目：已知线性规划问题的对偶问题为：

\[\text{Minimize}W=10y_1+15y_2\]

\[\text{Subjectto:}\]

\[y_1+2y_2\geq3\]

\[y_1+y_2\geq2\]

\[y_1,y_2\geq0\]

请求解该对偶问题，并说明原问题和对偶问题的关系。

答案：

使用单纯形法求解对偶问题，初始单纯形表如下：

\[

\begin{array}{c|cc|c}

y_1y_2\text{RHS}\\

\hline

W-10-150\\

x_1123\\

x_2112\\

\end{array}

\]

选择\(y_1\)作为进入基变量，\(x_1\)作为离开基变量，进行迭代，最终得到最优解：

\[y_1=0.6,y_2=1.4,x_1=0,x_2=0\]

\[W=10\times0.6+15\times1.4=31\]

原问题和对偶问题的关系是弱对偶性，即原问题的最优值不大于对偶问题的最优值。在本例中，原问题的最优值和对偶问题的最优值相等，满足强对偶性。

以上为运筹学中线性规划部分的题目及答案示例，具体题目和答案可能根据实际教材和课程要求有所不同。