15.1.1圆的概念及性质（1）.讲义教师版.doc

中考要求

中考要求

板块

考试要求

A级要求

B级要求

C级要求

圆的有关概念

理解圆及其有关概念

会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质

知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系

能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题

能运用圆的性质解决有关问题

圆周角

了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角

会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题

能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题

知识点睛

知识点睛

一、圆的相关概念

圆的定义

描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．

集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．

圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．

同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．

注意：注意：同圆或等圆的半径相等．

弦和弧

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．

弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

圆心角和圆周角

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

二、圆的对称性

旋转对称性

圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．

圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．

轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．

圆的轴对称性垂径定理．

三、圆的性质定理

圆周角定理

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

所对的两圆心角相等

所对的两圆心角相等

所对的两条弦相等

所对的两条弧相等

所对的两条弦的弦心距相等

注意：

①前提条件是在同圆或等圆中；

②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．

垂径定理

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论1：

①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．

注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．

例题精讲

例题精讲

一、圆的相关概念及性质

判断题：

（1）直径是弦 ()

（2）弦是直径 ()

（3）半圆是弧 ()

（4）弧是半圆 ()

（5）长度相等的两条弧是等弧 ()

（6）等弧的长度相等 ()

（7）两个劣弧之和等于半圆 ()

（8）半径相等的两个圆是等圆 ()

（9）两个半圆是等弧 ()

（10）圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于 ()

【考点】圆的相关概念及性质

【难度】1星

【题型】判断

【关键词】

【解析】略

【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√．

C．的度数的度数

D．的长度的长度

【考点】圆的相关概念及性质

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】

【答案】C

【考点】圆的相关概念及性质，矩形的性质及判定

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】

选B．

【答案】B

【考