711条件概率（原卷版）.docxVIP

7.1.1条件概率

目标素养

目标素养

课程目标

核心素养

1.通过实例,了解条件概率的概念；

2.掌握求条件概率的两种方法；

3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；

4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.

1.数学抽象：条件概率的概念

2.逻辑推理：条件概率公式的推导

3.数学运算：运用条件概率公式计算概率

4.数学建模：将相关问题转化为条件概率

概念梳理

概念梳理

1．条件概率

(1)条件概率的概念。

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，称P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。

(2)条件概率与独立性的关系。

当P(A)0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)。

(3)概率的乘法公式。

对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)。这个公式称为概率的乘法公式。

2．条件概率的性质

设Ω是样本空间，P(A)0，则有：

(1)P(Ω|A)＝1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；

(3)设eq\o(B,\s\up6(－))和B互为对立事件，则P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)。

【概念辨析】

1.P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(AB)是事件A与B同时发生的概率，无附加条件；P(A)是事件A发生的概率，无附加条件。它们的联系是P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)。

2.P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。另外，从计算公式上看，P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)，而P(A|B)＝eq\f(P?AB?,P?B?)。

3.乘法公式的几何直观意义

如图，用单位正方形来表示样本空间Ω，用正方形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件发生的概率。设A，B是Ω的子集。概率P(B)＝eq\f(P?B?,P?Ω?)(注意P(Ω)＝1)相当于B在Ω中所占的比例，亦可表示为P(B)＝P(B|Ω)。条件概率P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率，几何直观上，相当于B在A内的那部分(即AB)在A中所占的比例。

因此P(AB)＝P(A)P(B|A)，同理，P(AB)＝P(B)P(A|B)。

4.已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的样本空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝正误辨析eq\f(n?AB?,n?A?)＝eq\f(\f(n?AB?,n?Ω?),\f(n?A?,n?Ω?))＝eq\f(P?AB?,P?A?)。

正误辨析

判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.P(A∩B)＝P(AB).()

2.若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()

3.对于任意事件A，B，P(AB)＝P(A)P(B).()

初试身手

初试身手

1.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点。设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,9)

C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,3)

2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A．0.45 B．0.6

C．0.75 D．0.8

3.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着。现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________。

4.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________。

5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

(1)任意按最后一位数字，不超过3次就按对的概率；

(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4，不超过3次就按对的概率。

题型讲解

题型讲解

探究（一）用定义计算条件概率

【典例1】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率