克拉默法则及习题课.pptxVIP

§7克拉默（克莱姆）法则的系数行列式不等于零，即则方程组（8）有唯一解：(8)若线性方程组其中一、克拉默法则机动目录上页下页返回结束

证明：1)存在性。Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj=把代入第j(j=1,2,…,n)个方程，得故是方程组的解。克拉默法则证明，存在性机动目录上页下页返回结束

克拉默法则证明，唯一性2)唯一性设(c1,c2,…,cn)是方程组的一个解，则得所以方程组有唯一解。左端相加右端相加从而ckD=Dk机动目录上页下页返回结束

例19解线性方程组解机动目录上页下页返回结束

于是得

程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解另外,当方程组中方中的重要地位.的系数和常数项的关系.但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组默法则求解.组时,很少用克拉默法则.线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程

定理4如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理.式D?0,则(8)一定有解,且解是唯一的.二、线性方程组有解的条件定理4的逆否命题为定理4′如果线性方程组(8)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零的系数行列机动目录上页下页返回结束

对于线性方程组（8）右端的常数项机动目录上页下页返回结束(9)当全为零时，即称（9）式为齐次线性方程组。一定是（9）式的解——零解。若有一组不全为零的数是（9）式的解——非零解。定理5如果齐次线性方程组（9）的系数行列式D≠0，则（9）式没有非零解（有唯一零解）。定理5’如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式必为零。线性方程组（8）叫做非齐次线性方程组；不全为零时，

解例20问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？（10）由定理5’知，要使（10）有非零解，则其系数行列式D=0。得、或。

”典型例题主要内容第一章行列式习题课DCAB

１全排列机动目录上页下页返回结束一行列式定义1.二阶三阶行列式的对角线法则2.n阶行列式的定义注意:逆序数的求法

二.行列式的计算６n阶行列式的性质机动目录上页下页返回结束利用定义法01利用性质(6条性质)（如化三角形行列式）02利用展开定理(降阶法）03利用已知结果（如范德蒙行列式）04利用加边法（升阶法）05利用递推公式法06利用数学归纳法07

注意：代数余子式的重要性质：

三.克拉默法则关于代数余子式的重要性质机动目录上页下页返回结束01克拉默法则的理论价值02定理5如果齐次线性方程组（9）的系数行列式03D≠0，则（9）式没有非零解（有唯一零解）。04定理5’如果齐次线性方程组（9）有非零解，05则它的系数行列式必为零。

一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式典型例题机动目录上页下页返回结束克拉默法则01典型例题02

一、计算排列的逆序数（例１）解例１机动目录上页下页返回结束一、计算排列的逆序数

于是排列的逆序数为当为奇数时，排列为奇排列．当为偶数时，排列为偶排列．

二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式１用定义计算（证明）机动目录上页下页返回结束例２用行列式定义计算用定义计算BA

解

利用范德蒙行列式计算例3计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。

解

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

３用化三角形行列式计算３用化三角形行列式计算机动目录上页下页返回结束例4计算

解

提取第一列的公因子，得机动目录上页下页返回结束

４用降阶法计算４用降阶法计算机动目录上页下页返回结束例5计算解

5用递推法计算5用递推法计算（例7）机动目录上页下页返回