2026高考数学复习配套课件 第2章 素能培优(二)　函数图象的对称性.pdfVIP

素能培优(二)函数图象的对称性

1.奇函数、偶函数图象的对称性

(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

(2)若f(x+a)是偶函数,则f(x)的图象关于直线xa对称;

若f(x+a)是奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称.

2.一个函数图象的自身成轴对称

(1)函数f(x)的图象关于直线x称的充要条件是f(a+x)f(b-x),其中x是

2

f(x)定义域内的任意一个数.

(2)函数f(x)的图象关于直线xa对称⇔f(a+x)f(a-x)⇔f(2a-

x)f(x)⇔(2a+x)f(-x),其中x是f(x)定义域内的任意一个数.

3.一个函数图象的自身成中心对称

(1)函数f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)2b,其

中x是f(x)定义域内的任意一个数.

(2)函数f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)0⇔f(2a-x)+f(x)0⇔

f(2a+x)+f(-x)0,其中x是f(x)定义域内的任意一个数.

4.函数的对称性与周期性的关系

(1)若函数yf(x)的图象有两条对称轴,分别是直线xa,xb(ab),则函数f(x)

是周期函数,且T2(b-a);

(2)若函数yf(x)的图象有两个对称中心,分别是点(a,c),(b,c)(ab),则函数

yf(x)是周期函数,且T2(b-a);

(3)若函数yf(x)的图象有一条对称轴直线xa和一个对称中心点(b,c)(ab),

则函数yf(x)是周期函数,且T4(b-a).

5.两个函数图象的对称

(1)函数yf(x)与yf(-x)的图象关于y轴对称;

(2)函数yf(x)与y-f(x)的图象关于x轴对称;

(3)函数yf(x)与y-f(-x)的图象关于原点对称.

(4)若f(x)与g(x)关于直线xa对称,则g(x)f(2a-x);

(5)若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称,则g(x)2b-f(2a-x).

题型一轴对称问题

例1(1)(2024·湖南株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x+1)为

9

3A

偶函数,当-1≤x≤0时,f(x)x,则f()等于()

2

11

A.B.-

88

2727

C.D.-

88

题型一题型二题型三

解析由函数f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)的图象关于直线x1对称,

所以f(2+x)f(-x),

又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(4+x)f(-2-x)-f(2+x)-f(-x)f(x),

可得函数f(x)的周期为4,

99111

所以f()f(-4)f()-f(-).故选A.

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