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兰大线性代数题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.二阶行列式\(\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}\)的值为（）

A.-2B.2C.10D.-10

2.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)=（）

A.4B.8C.16D.32

3.若矩阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值为（）

A.0或1B.-1或1C.0或-1D.2或1

4.向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）

A.1B.2C.3D.0

5.齐次线性方程组\(Ax=0\)（\(A\)为\(m\timesn\)矩阵）有非零解的充分必要条件是（）

A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltn\)D.\(r(A)\ltm\)

6.设\(A\)、\(B\)为同阶方阵，且\(AB=0\)，则（）

A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)

C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)

7.设\(A\)为可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的一个特征值为（）

A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(-\lambda\)D.\(\lambda^2\)

8.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）

A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)

C.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量D.\(A\)与\(B\)有不同的特征值

9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(E\)为\(n\)阶单位矩阵，若\(A^2-3A+2E=0\)，则\(A^{-1}\)=（）

A.\(A-3E\)B.\(\frac{1}{2}(A-3E)\)C.\(3E-A\)D.\(\frac{1}{2}(3E-A)\)

10.设\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，则（）

A.\(A\)的特征值一定是实数B.\(A\)的特征值一定是正数

C.\(A\)一定有\(n\)个不同的特征值D.\(A\)的特征向量一定正交

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下关于矩阵的运算正确的有（）

A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)

2.下列向量组中，线性相关的有（）

A.\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(2,2,2)\)B.\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(1,1,0)\)

C.\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(4,5,6),\alpha_3=(7,8,9)\)D.\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(1,0,1)\)

3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列说法正确的是（）

A.若\(\vertA\vert\neq0\)，则\(A\)可逆B.若\(A\)可逆，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)可逆

C.若\(A\)可逆，则\(A^T\)可逆D.若\(A\)的秩\(r(A)=n\)，则\(A\)可逆

4.关于矩阵的特征值与特征向量，下列说法正确的是（）

A.不同特征值对应的特征向量线性无关

B.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值

C.一个特征值可以对应多个特征向量

D.矩阵\(A\)与\(A^T\)有相同的特征值

5.下列矩阵中，是正交矩阵的有（）

A.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta-\sin\theta\\\sin