复变函数与积分变换第三章.pptxVIP

第三章复变函数的积分

§3.1复变函数积分的概念§3.2柯西-古萨定理及其推广§3.3柯西积分公式及其推论§3.4解析函数与调和函数的关系第三章复变函数的积分

有向曲线积分的定义积分性质积分存在的条件及其计算法3.1复变函数积分的概念

1.有向曲线A(起点)B(终点)C

逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.CC

2.积分的定义定义DBxyo

3.积分性质由积分定义得：

证明而C之长为2,根据估值不等式知例

4.积分存在的条件及其计算法定理3.1

证明

由曲线积分的计算法得用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.

例3.1解直线方程为Aoxy

这两个积分都与路线C无关Aoxy解

解y=x积分路径的参数方程为

(1)积分路径的参数方程为y=x例3.1解

(2)积分路径由两段直线段构成y=xx轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为积分路径不同,积分结果也可能不同.

例3.2解积分路径的参数方程为

小结求积分的方法

积分路径的参数方程为例3.3解

重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.

例如例如练习

例2解oxyrC

?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

例题证明：

oxy例3解

解:例4

01作业02P692;4;

3.2Cauchy-Goursat定理

析区域的单连通性有关。积分值＝0)的条件可能与被积函数的解析性及解由此猜想：复积分的值与路径无关(或沿闭路的CBA

被积函数的解析性复函积分与路径无关解析区域的单连通性

—Cauchy定理

Cauchy-Goursat定理（定理3.2）：DCDC

(2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。DDC推论3.2设f(z)在单连通区域D内解析，则对任意两点z0,z1∈D,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C，即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1

典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有

01思考题02应用柯西–古萨定理应注意什么?

思考题答案注意定理的条件“单连通域”.注意定理不能反过来用.

原函数与不定积分的概念01积分计算公式022原函数与不定积分

1.原函数与不定积分的概念由推论3.2知：设f(z)在单连通区域D内解析，则对D中任意曲线C,积分∫cf(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在D内变动,∫cf(z)dz在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理3.3设f(z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且

上面定理表明是f(z)的一个原函数。定义3.2若函数?(z)在区域D内的导数等于f(z)，即,称?(z)为f(z)在D内的原函数.设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章练习题7)

2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理3.4设f(z)在单连通区域D内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强

21思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?

思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.

例1计算下列积分：解1)

解2)

例3计算下列积分：

小结求积分的方法

例2解根据柯西－古萨定理得

3复合闭路定理—定理3.2的推广定理3.5（复合闭路定理）：

证明Dc1c2L1L2L3AA’EE’FF’GH

此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.DCC1C1C1—闭路变形原理

根据复合闭路定理即定理3.5可知,

解C1C21xyo例3.7

解C1C21xyo练习

01作业02P697(2)(3);9;10(1)(3)

3.3Cauchy积分公式及其推论

通过两个二元实变函数的积分来计算；复变函数积分的计算化为参变量的定积分来计算；复变函数积分的性质柯西积分定理复合闭路定理——柯西定理在多连域的推广闭