3华东师范大学第二附属中学（创新班和理科班用）数学（高中下册）-1.doc

第十一章复数

11．1复数的概念

复数可以分类如下：

8．使“复数为实数”的充分而不必要条件的是（）

11．2复数的代数运算

我们知道，实数之间能进行加、减、乘、除等运算．同样，在复数之间也可以定义加、减、乘、除等运算．

1．复数的加减法

两个复数的和仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个复数虚部的和．

两个复数的差仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个复数虚部的差．

2．复数的乘除法

两个复数的乘积还是一个复数．复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在运算过程要把换成1，并且把实部与虚部分别合并．即

3．复数的乘方及开方

在复数的乘法或乘方运算时，常常要用到虚数单位的乘方：

（1）求的值及的实部的取值范围；

例5．设1的立方虚根是．

．

基础练习

7．求同时满足下列两个条件的复数：

11．3复数的模和共轭复数的运算性质

求几个复数积的模或两个复数商的模，可以先求得其积或商的实部和虚部，再用模的计算公式进行计算．然而，有时求多个复数积或两个复数商的实部和虚部却相当麻烦．实际上，求几个复数积的模或两个复数商的模，可以先分别计算这几个复数的模，然后把各个复数的模相乘或相除．

下面我们来证明第一条性质．

其余性质也可以类似方法来证明．

是纯虚数．

基础练习

11．4复数与复数的加法、减法的几何意义

1．复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数都有复平面内唯一确定一个点与之对应；反过来，复平面内的每一个点也有唯一的一个复数与它对应．所以复数集和复平面内所有的点所组成的集合的元素之间是—一对应的．

这就是复数的几何意义，也是复数的另一种表示方法，即复数的几何表示方法．

2．复数加法、减法的几何意义

根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义（即三角形法则，过作与其相等的向量）．

由此可得：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离．

（1）所表不的复数，所表示的复数；

（2）对角线所表示的复数；

（3）对角线所表示的复数及的长度．

故点对应的复数．

因为点与点关于原点对称，所以原点为正方形的中心．

为纯虚数，

基础练习

（I）求复数；

11．5复数的三角形式与运算

这样，非零复数与它的一组模和辐角主值是一一对应的．两个非零复数当且仅当它们的模与辐角主值分别相等时才相等．

下面，我们利用复数的三角形式来研究复数的乘法、除法、乘方及开方运算．

即两个复数相乘，积的模等于两个复数模的积，积的辐角等于两个辐角的和．

即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

复数三角形式的乘法法则可以推广到个复数：

显然，复数0的次方根仍然是0．

例1．将下列复数表示成三角形式：

例2．求的立方根．

（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；

基础练习

l．下列复数是不是复数的三角形式?

5．有一个人在草原上漫步，开始时从出发，向东行走，每走l千米后，便向左转角度，他走过千米后，首次回到原出发点，则__________．

（1）求的值；

能力提高

11．6复数乘除法的几何意义

前面我们曾研究了复数的加法与减法的几何意义，现在应用复数三角形式的乘法、除法法则，可以继续研究复数乘法、除法的几何意义．

例2．设点为复平面的原点，和为复平面内的两动点，并且满足：

=．

设中点为，它对应复数为，那么

（1）求对应复平面内动点的轨迹；

因此，动点的轨迹是圆，中心在（1，0），半径等于6，但去掉两点（1，6）与（1，6）．

基础练习

能力提高

（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项以及所有项的和．

11．7复数集内的方程

对于实系数一元次方程，还有下面两个重要的定理：

（1）共轭虚根定理

如果虚数是实系数一元次方程