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2020年第三十七届全国初中数学联赛试题与答案解析

一、选择题

1.(3分)若a,b,c均为整数且满足a-b

A.1B.2C.3D.4

【分析】先根据a,b,c均为整数,得出a-b和a-c均为整数,根据有理数乘方的法则得出关于a、b、c的方程组,求出a、b、c之间的关系,用a表示出b、c,代入原式进行计算.【解答】解:因为a,b,c

从而由a-b10+a-c10

若a-b=1a

从而a-

若a-b=0a

从而a-

因此,a-

故选:B.

【点评】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质,能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出a、b、c之间的关系式解答此题的关键.

2.(3分)若实数a,b,c满足等式2a+3b=

A.0B.1C.2D.3

【分析】将两等式组成关于a和b方程组,求出其表达式(含c),再根据非负数的性质解答即可.

【解答】解:由两个已知等式可得,

a

而b开0,所以c?

当c=2时,可得a=9,b=0,满足已知等式

故选:C.

【点评】此题将非负数的性质与不等式组相结合,综合性较强.初中阶段的非负数的性质有三种:绝对值、偶次方、平方根,在解题时要注意加以灵活应用.

3.(3分)若a,b是两个正数,且a-1b

A.0a+b?1

【分析】由已知去分母得到ab=a+ba+b-1

式得到a+b2开4ab,即可得到a+

【解答】解:由a-

去分母得:a2

整理得:a2

∴a

∴ab

∵a,b

∴ab

∴a

即:a+

∵a+b2

结合①式可得:a+b4开

∴a

因此,1

故选:C.

【点评】本题主要考查了分式的混合运算,完全平方公式,分式的基本性质等知识点,利用完全平方公式和分式的基本性质进行变式是解此题的关键.

4.(3分)若方程x2-3x-1=0的两根也是方程x4+a

A.-13B.-9C.6D.0

【分析】设m是方程x2-3x-1=0的一个根.根据方程解的意义知,m既满足方程x2-3x-1=0,也满足方程x4+ax2+bx+c=0,

这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程,然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可.

【解答】解:设m是方程x2-3x-1=0的一个根,则

由题意,m也是方程x4+ax2+bx

把m2=3m+1代入此式,得3m+

从而可知:方程x2-3x-1=0

这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程,

从而有9+ax2+6+b

所以b=-

因此,a+

故选:A.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解.该题难度比较大,在解题时,采用了“转化法”,即将所求转化为求9+ax2+6+bx+c

5.(3分)在△ABC中,已知∠CAB=60°,D,E分别是边AB,AC上的点,且∠AED=60

A.15°B.20°

【分析】此题要通过构造全等三角形来解;过B作DE的平行线,交AC于F;由于∠AED=∠CAB=60°,因此△ADE是等边三角形,则∠BDE=120°,联立∠CDB、∠CDE的倍数关系,即可求得∠CDE的度数;然后通过证ΔEDC?ΔFCB

【解答】解:∠CAB

∴△ADE是正三角形

作BF//DE交AC于

∴△ABF

∴△ABF是等边三角形

则BD=

从而EC=

又∠1

∴△EDC

∴θ

∵∠CDB

∴φ

θ+

∵

∴θ

得:x=

故选:B.

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识,正确画出图形,并构造出全等三角形是解决问题的关键.

6.(3分)对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如a2009=2+

A.28062B.28065C.28067D.28068

【分析】分别求出自然数1到2010中1到9出现的总次数,则a1+a2+a3+…+a2009+a2010=1×数字1

【解答】解:把1到2010之间的所有自然数均看作四位数(如果n不足四位,则在前面加0,补足四位,这样做不会改变an的值

1在千位上出现的次数为103,1在百位上出现的次数为2×10

因此,1出现的总次数为103

2在千位上出现的次数为11,2在百位和十位上出现的次数