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探索规律（提高）知识讲解

责编：康红梅

【学习目标】

1.通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；

2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；

3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.

【要点梳理】

要点一、规律探索型问题常见类型

1、数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.

要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.

2、图形规律

根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.

要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.

3、数表规律

解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.

要点二、规律探索型问题解题技巧

1、抓住条件中的变与不变

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.

2、化繁为简，形转化为数

有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.

3、要进行计算尝试

找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.

4、寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.

【典型例题】

类型一、数式规律

1．在下列数列里，写出后面两个数：

（1）1，10，3，13，5，16，7，19，，，…

（2）2，5，6，10，18，20，54，40，，，…

（3）4，16，36，64，，144，196，，…，

（4）0，1，2，3，6，11，20，，，…

【解析】

解：（1）这个数列中，奇数位上的数后一项总比前一项多2，偶数位上的数后一项总比前一项多3．

（2）这个数列中，奇数位上数后一项总是前一项的3倍，偶数位上的数后一项是前一项的2倍．

（3）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方．

（4）这个数列中某项的数等于它前面3项数之和．

举一反三：

【变式】（2015?包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）

A． B． C． D．

【答案】C

解：观察该组数发现：1，，，，…，

第n个数为，

当n=6时，==．

2．（通辽）观察下列等式：

…

【思路点拨】观察不难发现，两个数的积等于这两个数乘以后面的数减去这两个数乘以前面的数，然后乘以，把括号内的积都写成积的差的的形式，然后相加互相抵消即可得解.

【解析】

…

举一反三：

【变式】观察下面组成的图案和算式，解答问题：

1+3=4=22；

1+3+5=9=32；

1+3+5+7=16=42；

1+3+5+7+9=25=52；

（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=?；

（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n1）+（2n+1）+（2n+3）=?.

类型二、图表规律

3．用火柴棒按图中的方式搭图：

(1)填写下表：

图形编号

①

②

③

④

⑤

⑥

火柴棒根数

?

?

?

?

?

?

(2)第N个图形需要多少根火柴？

【思路点拨】在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答.

【答案与解析】

解：（1）显然，第一个图形中有