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第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第1课时正弦

1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.

2.理解并掌握锐角的正弦的定义.

3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.

阅读教材P6163页，自学两个“思考”、“探究”及“例1”.

自学反馈学生独立完成后集体订正

①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c;∠A的对边与斜边的比叫做∠A的，即sinA=.

②在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB=.

正弦值的讨论前提是在直角三角形中，当锐角度数一定时，它的对边与斜边的比是一个定值.

活动1小组讨论

例1如图，求sinA和sinB的值.

解:在Rt△ABC中，

正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.

活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是.

2.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值.

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,sinA=,则求AC的长.

第2小题可以在方格内构造直角三角形，体会在直角三角形内，锐角度数一定时，其对边与斜边的比也是定值，即是此锐角的正弦值；第5小题连结OA，构造直角三角形.

活动1小组内讨论交流并展示解题思路和解题要点

例2在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a∶b∶c=3∶4∶5，求证:sinA+sinB=.

证明:设a=3k,b=4k,c=5k，

∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，

∴a2+b2=c2.∴∠C=90°.

∴sinA===,sinB===.

∴sinA+sinB=+=.

此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知识来做.

活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)

1.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？

2.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2.5米，则倾斜角∠CAB为多少度？

3.点P(2，4)与x轴的夹角为α，则sinα=.

4.在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，∠C是直角，求证:sin2A+sin2B=1.

活动3课堂小结

1.求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形前提中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形.

2.互余的两个锐角的正弦值的平方和等于1.

3.在直角三角形中，可根据锐角度数求出直角边与斜边的比值，也可以通过直角边与斜边的比值求出直角边所对的角的度数.

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

【预习导学】

自学反馈

①正弦

②

③

④

⑤

【合作探究1】

活动2跟踪训练

1.

2.不变

3.

【合作探究2】

活动2跟踪训练

1.5·sin50°米

2.60°

第2课时锐角三角函数

1.掌握余弦、正切的定义.

2.了解锐角∠A的三角函数的定义.

3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.

阅读教材P6465,自学“探究”与“例2”.

自学反馈学生独立完成后集体订正

①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c;∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的，即cosA=；∠A的对边与邻边的比叫做∠A的，即tanA=.

②锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的.

③在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则cosB=，tanB=.

锐角三角函数是在直角三角形的前提下.

活动1小组讨论

例1分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.

活动2跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果)

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若CD=BC，则tanA=.

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=13，a=12，那么sinA=，cosA=，tanA=.

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