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二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束反常积分的审敛法?函数第五章
一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数机动目录上页下页返回结束证:根据极限收敛准则知存在,
定理2.(比较审敛原理)且对充,则机动目录上页下页返回结束证:不失一般性,因此单调递增有上界函数,
机动目录上页下页返回结束说明:已知得下列比较审敛法.极限存在,
机动目录上页下页返回结束定理3.(比较审敛法1)
机动目录上页下页返回结束例1.判别反常积分解:01的敛散性.02由比较审敛法1可知原积分收敛.03思考题:讨论反常积分04的敛散性.05提示:当x≥1时,利用06可知原积分发散.07
定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足
机动目录上页下页返回结束可取即此极限的大小刻画了当必有注意:
机动目录上页下页返回结束例2.判别反常积分的敛散性.解:根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.判别反常积分的敛散性.解:根据极限审敛法1,该积分发散.
机动目录上页下页返回结束定理5.证：则而
机动目录上页下页返回结束定义.设反常积分则称添加标题故由定理5知所添加标题给积分收敛添加标题(绝对收敛).添加标题绝对收敛;添加标题则称添加标题条件收敛.添加标题例4.判断反常积分添加标题的敛散性.添加标题解:添加标题根据比添加标题较审敛原理知添加标题
机动目录上页下页返回结束二、无界函数反常积分的审敛法添加标题无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.添加标题由定义添加标题例如添加标题因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数添加标题的反常积分中来.
定理3目录上页下页返回结束利用添加标题定理6.(比较审敛法2)添加标题有添加标题瑕点,添加标题有类似定理3与定理4的如下审敛法.添加标题有添加标题使对一切充分接近a的x(xa).
定理4目录上页下页返回结束定理7.(极限审敛法2)则有:当当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.
定理4目录上页下页返回结束例6.判定椭圆积分根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.解:由于的敛散性.
机动目录上页下页返回结束类似定理5,有下列结论:例7.判别反常积分的敛散性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分
机动目录上页下页返回结束三、?函数添加标题定义添加标题令添加标题下面证明这个特殊函数在添加标题内收敛.
机动目录上页下页返回结束综上所述,
机动目录上页下页返回结束2.性质递推公式01(分部积分)03证:02注意到:04
机动目录上页下页返回结束(2)添加标题证:添加标题余元公式:(证明略)
机动目录上页下页返回结束得应用中常见的积分这表明左端的积分可用?函数来计算.贰壹例如,叁
内容小结1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课目录上页下页返回结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.?函数的定义及性质.思考与练习P263题1(1),(2),(6),(7)P264题5(1),(2)作业P2631(3),(4),(5),(8)2;3
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