上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题（解析版）.docx

上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题

一、填空题

1.不等式的解集为____________．

【答案】或.

【解析】

【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.

【详解】等价于，即，

解得或，即原不等式的解集为：或.

故答案为：或.

2.函数的最小正周期为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用求出最小正周期.

【详解】的最小正周期为.

故答案为：

3.已知，则的范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用重要不等式即可求解.

【详解】由，可得，所以，

当且仅当时，等号成立，所以，

所以的范围是.

故答案为：.

4.在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为______（用数字作答）．

【答案】

【解析】

【分析】依题意根据二项式系数的特征得到，再令，得到所有项的系数和，即可求出参数的值，再写出二项式展开式的通项，令，求出，最后代入计算可得；

【详解】解：依题意，因为只有第6项的二项式系数最大，所以，即，令，则，所以，所以二项式展开式的通项为，令，解得，则，即展开式中项的系数为；

故答案为：

5.中，，若在上的投影为．则______．

【答案】

【解析】

【分析】作，根据题意，求得，得到，结合，即可求解.

【详解】如图所示，过点作于点，

因为向量在上的投影为，可得，所以，

又因为，则.

故答案为：.

6.已知数列满足，，求的通项公式___________；令当为单调递增数列时，实数的取值范围是___________

【答案】①.②.

【解析】

【分析】直接利用累加法求数列的通项公式，依题意，即可得到，从而得到的取值范围；

【详解】解：数列满足：，，

，

．

所以

因为为单调递增数列，所以对恒成立，

即，即对恒成立，

因为，

故答案为：，

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法以及数列的单调性求参数的取值范围，属于中档题．

7.设，，则满足______________条件

【答案】

【解析】

【分析】将不等式两边平方即可求解.

【详解】由，得，

所以，即，

所以.

故答案为:.

8.已知三角形，则三角形的面积的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围.

【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，.

因，所以，化简得，

则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）.

则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积.

又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为.

故答案为：

9.某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为________.（参考数据：若，则）

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解．

【详解】依题可知，，又，

所以，要使合格率达到99.74%，则，

所以，解得：，故σ至多为1．

故答案为：1．

10.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可.

【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和，

根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为，

所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立，

所以或，解得或.

故答案为：.

11.已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为_________.

【答案】

【解析】

【分析】旋转形成一个侧面是扇形，底面为半径的圆形，母线长为和的两个同底面的锥体，求解侧面积.

【详解】由，斜边为,则,

由此可以得到底面的半径为，

故侧面积.

故答案为：.

12.若有唯一解，则的范围是______________

【答案】1

【解析】

【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可.

【详解】因为有唯一解，

所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，

直线过定点，

画出的图象上与直线的图象如图，

由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；

当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；

当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，

设切点坐标为，因为，

所以，

故答案为：1.

二、单选题

13.“”是“”的（????）条件.

A.