高考一轮复习备考资料之数学人教A版讲义2.3函数的奇偶性与周期性.docx

§2.3函数的奇偶性与周期性

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

知识拓展

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数．(√)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)

题组二教材改编

2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝_____.

答案－2

解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－2.

3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝______.

答案1

解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.

4．[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

答案(－2,0)∪(2,5]

解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，

∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x－2时，f(x)0.

综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．

题组三易错自纠

5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()

A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)

答案B

解析依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，

∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3)，故选B.

6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

答案3

解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．

又f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.

题型一判断函数的奇偶性

典例判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq