二元关系和函数课件.pptVIP

解：A={φ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3}}R={φ,{1},φ,{2},φ,{3},φ,{1,2},φ,{2,3},{1},{1,2},{2},{1,2},{2},{2,3},{3},{2,3}}∪IA{1,2}{2,3}{1}{2}{3}φ例4.45已知偏序集A,≤的哈斯圖如下所示,寫出集合A和關係R的運算式。定義4.20設A,≤為偏序集，B?A，b?B，①若(?x)(x?B?b≤x)為真,則稱b為B的最小元。②若(?x)(x?B?x≤b)為真，則稱b為B的最大元。③若?(?x)(b?x?xb)為真，則稱b為B的極小元。④若?(?x)(b?x?bx)為真，則稱b為B的極大元。從本定義可知，最小元與極小元是有區別的，最小元是B中最小的元素，它與B中其他元素都可比；而極小元不一定與B中元素都可比，只要沒有比它小的元素，它就是極小元。對於有窮集B，極小元一定存在，且可能有多個，但最小元不一定存在，若存在則必唯一。若B中只有一個極小元，則它一定是B的最小元。類似地可討論極大元與最大元之間區別。例4.46上述兩個偏序集都有最小元,分別是1和?。整除關係的偏序集沒有最大元,包含關係的偏序集有最大元{a,b,c}。凡是在哈斯圖中向上路徑的每一個終點都是極大元。上圖中整除關係的偏序集有極大元7,8,9,10,11和12,包含關係的偏序集有唯一極大元{a,b,c}。兩個偏序集都有極小元,分別是1和?。124871151036129{a,b,c}{a,b}{a,c}{b,c}{a}{b}{c}{?}{1,2,…,12},R整除{P({a,b,c}),R?作為最大元、最小元或極大元、極小元等要求元素本身在考查的集合中,而上界、下界則沒有這一方面的要求。極大元是指在該集合中沒有比它更大的,這是一種“局部”性質,並不意味著它是最大的。最大元則指比所有的都大(可以發生相等),這是一種“全局”性質,故最大元必定是極大元。例:找出下圖中的最大元、最小元、極大元、極小元。abcdefgh(1)jkmnopqruvxyzw(2)(3)圖(1)中h為極大元,a,b,c為極小元；圖(2)中o,p,q,r為極大元，j為極小元；圖(3)中z為極大元,u為極小元；圖(1)圖(3)有最大元h和z,圖(2)圖(3)有最小元j和u最小(大)元與極小(大)元的區別：最小元是B中最小的元素，它與B中其他元素都可比；而極小元不一定與B中其他元素都可比，只要沒有比它小的元素即可。極大元是指在該集合中沒有比它更大的,這是一種“局部”性質,並不意味著它是最大的。最大元則指比所有的都大(可以發生相等),這是一種“全局”性質,故最大元必定是極大元。對於有窮集合B，最小(大)元不一定存在，但若存在則一定唯一存在；而極小(大)元一定存在，並且可能存在多個。若B中只有一個極小(大)元,則它一定是B的最小(大)元。當關係用關係矩陣表示時，相應閉包求法為：(1)Mr=M+E(2)Ms=M+M′(3)Mt=M+M2+M3+…其中M為R的關係矩陣，E是單位矩陣，M`是M的轉置矩陣.§4.4關係的閉包010010001100Mr=M+E=1010+0100=1110