5.2 三角函数的概念（解析版）.docx

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5．2三角函数的概念

第五章三角函数

5．2三角函数的概念

例题

1．求的正弦、余弦和正切值.

2．如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，.

3．求证角为第三象限角的充要条件是

4．确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：

（1）；（2）；（3）；（4）.

5．求下列三角函数值：

（1）（精确到0.001）；（2）；（3）.

6．已知，求，的值.

7．求证：．

5．2．1三角函数的概念

练习

8．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值.

9．利用三角函数定义，求的三个三角函数值．

10．已知角的终边过点，求角的三角函数值.

11．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s.求2s时点P所在的位置.

练习

12．填表：

13．设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？

14．确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

15．对于，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：

（1）角为第一象限角的充要条件是_____；

（2）角为第二象限角的充要条件是_____；

（3）角为第三象限角的充要条件是_____；

（4）角为第四象限角的充要条件是______.

16．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：

（1）；（2）；（3）；（4）.

5．2．2同角三角函数的基本关系

练习

17．已知，且为第三象限角，求，的值.

18．已知，求，的值.

19．已知，求，的值（精确到）.

20．化简：

（1）；

（2）；

（3）.

21．求证：.

习题5．2

复习巩固

22．用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

23．已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求.

24．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

25．化简：

（1）；

（2）；

（3）.

（4）.

26．确定下列三角函数值的符号：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6).

27．（1）已知，且为第四象限角，求的值；

（2）已知，且为第二象限角，求的值；

（3）已知，求的值；

（4）已知，求的值（精确到0.01）.

综合运用

28．分别根据下列条件求函数的值：

（1）；????????

（2）.

29．确定下列式子的符号

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

30．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）；

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

31．求证：

（1）角为第二或第三象限角的充要条件是；

（2）角为第三或第四象限角的充要条件是；

（3）角为第一或第四象限角的充要条件是；

（4）角为第一或第三象限角的充要条件是.

32．已知，求的值.

33．已知，求的值.

34．已知角的终边不在坐标轴上，

（1）用表示；

（2）用表示.

35．求证：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

36．已知，求的值.

拓广探索

37．化简，其中为第二象限角.

38．是的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？

39．（1）分别计算和的值，你有什么发现？

（2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？

（3）证明：.

参考答案：

1．，，

【解析】求出的终边与单位圆的交点即可

【详解】在直角坐标系中，作（如图），

易知的终边与单位圆的交点坐标为.

所以，，，.

【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.

2．见解析

【解析】设角的终边与单位圆交于点，分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，利用即可证明.

【详解】如图，设角的终边与单位圆交于点.

分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，

则，，，，

因为

所以，即.因为与y同号，所以，即.

同理可得，

【点睛】只要知道角终边上任意一点P的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变.

3．见解析

【解析】根据象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号证明即可

【详解】因为角为第三象限角

所以，

反过来：

由得

由得

所以

所以角为第三象限角

所以角为第三象限角的充要条件是

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

4．（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】判断出每个角所在的象限即可

【详解】（1）因为是第三象限角，所以；

（2）因为是第四象限角，所以；

（3）因为，而是第一象限角，所以；

（4）因为，而的终边在x