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第九章流动与传热的数值计算
§9-1数值计算的基本思想
*§9-2流动与传热的数值计算
§9-3saints2D软件简介
首先,我们以导热问题为例,介绍计算区域离散化的概
念、内节点与边界节点方程式的建立方法、节点方程组的求解过程,以及非稳态导热问题的显示与隐示差分格式。
然后,介绍在上述思想的基础上开发的流动与传热计算软件saints2D,并给出传热问题虚拟实验的计算示例。
2008-22;
§9-1数值计算的基本思想
数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再进行求解。这里要介绍的是后一种方法。
如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用不同的数学方法,如有限差分法、有限元法和边界元法等。这里仅向读者简要地介绍用有限差分析方法从微分方程确立代数方程的处理过程。
有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量(如温度、压力、速度和热流等),用有限数目的离散点上的数值集合来近似表达。有限差分的数学基础是用差商代替微商(导数),而几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。
2008-23;
华中科技大学热科学与工程实验室
HUSTLabofThermaIScienceEngineering
在图9-1中可以看出有限差分表示的温度场与真实温度场的区别。图中用To、T1、T2…表示连续的温度场T;Δx为步长,它将区域的x方向划分为有限个数的区域,Δxo、Δx1、Δx2…,它们可以相等,也可以不相等。
当Δx相等时,T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c或d来表示,其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温
度随时间的变化率
b为向后差分格式
c为向前差分格式
d为中心差分格式
2008-24;
这种差分格式也可以推广到高阶微商(导数)的情形。对于二阶导数的差分格式可以在一阶差分格式的基础上得出:
采用这样的处理之后,反映温度场随时间、空间连续变化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律的代数方程来表示。当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后,我们就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表示温度场的连续的温度分布。
从上面的分析不难看出,当我们要对流动与传热问题进行数值求解时一定要采取三个大的步骤,即:
a)研究区域的离散化;
b)散点(节点)差分方程的建立;
c)节点方程(代数方程)的求解。
2008-25;
1时间与空间的离散化
当进行数值求解时,首先要做的事情是在所研究的时间和空间区域内把
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