53　第六章　第3课时　等比数列.DOCX

第3课时等比数列

[考试要求]1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．

1．等比数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1an＝q(n∈N*

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．

提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn-1＝amqn－m．

(2)前n项和公式：

Sn＝n

提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．

3．等比数列的性质

(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝ak

(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an

(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．

[常用结论]

1．等比数列的单调性

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列．

2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ()

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac． ()

(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列． ()

(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝a1?an

[答案](1)×(2)×(3)√(4)×

二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a

A．32B．－3C．－32

D[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得

q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，

解得q＝1或q＝－12

∴a2＝a3q＝

2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()

A．31 B．32

C．63 D．64

C[根据题意知，等比数列{an}的公比q≠－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]

3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．

27[依题意a1＝1，a5＝9，所以a1a5＝a2a4＝a32＝9，所以a3＝3或a3＝－3(舍去)，所以a2a3a4＝

4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．

1，3，9或9，3，1[设这三个数为aq，a，aq，则

解得a=3，q=

∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]

考点一等比数列基本量的运算

[典例1](1)(2022·全国乙卷)已知等比数列an的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6

A．14 B．12

C．6 D．3

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()

A．120 B．85

C．－85 D．－120

(1)D(2)C[(1)设等比数列an的公比为q，q≠

若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，

所以q≠1，

则a1+a

所以a6＝a1q5＝3．

故选D．

(2)法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则a11?q41?q=?5，a11?q61?q

法二：易知等比数列{an}的公比q≠－1，则S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a11?q41?q=?5

等比数列基本量的运算的解题策略

(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a